【面试高频题】可拓展变形的「区间求和」经典题
题目描述
这是 LeetCode 上的「1893. 检查是否区域内所有整数都被覆盖」，难度为「简单」。
Tag : 「模拟」、「树状数组」、「线段树」
给你一个二维整数数组 ranges 和两个整数 left 和 right。每个 ranges[i] = [start_i, end_i] 如果闭区间 [left, right] 内每个整数都被 ranges 中 至少一个 区间覆盖，那么请你返回 true，否则返回 false。
已知区间 ranges[i] = [start_i, end_i] ，如果整数 x 满足 start_i <= x <= end_i ，那么我们称整数 x 被覆盖了。
示例 1：
输入：ranges = [[1,2],[3,4],[5,6]], left = 2, right = 5
输出：true
解释：2 到 5 的每个整数都被覆盖了：
- 2 被第一个区间覆盖。
- 3 和 4 被第二个区间覆盖。
- 5 被第三个区间覆盖。
示例 2：
输入：ranges = [[1,10],[10,20]], left = 21, right = 21
输出：false
解释：21 没有被任何一个区间覆盖。
提示：
- 1 <= ranges.length <= 50
- 1 <= start_i <= end_i <= 50
- 1 <= left <= right <= 50
模拟
一个简单的想法是根据题意进行模拟，检查 [left, right] 中的每个整数，如果检查过程中发现某个整数没被 ranges 中的闭区间所覆盖，那么直接返回 False，所有数值通过检查则返回 True。
代码：
class Solution {
public boolean isCovered(int[][] rs, int l, int r) {
for (int i = l; i <= r; i++) {
boolean ok = false;
for (int[] cur : rs) {
int a = cur[0], b = cur[1];
if (a <= i && i <= b) {
ok = true;
break;
}
}
if (!ok) return false;
}
return true;
}
}
- 时间复杂度：令 [left, right] 之间整数数量为 n ，ranges 长度为 m 。整体复杂度为 O(n * m)
- 空间复杂度：O(1)
树状数组
针对此题，可以有一个很有意思的拓展，将本题难度提升到【中等】甚至是【困难】。
将查询 [left, right] 修改为「四元查询数组」querys ，每个 querys[i] 包含四个指标 (a,b,l,r) ：代表询问 [l, r] 中的每个数是否在 range 中 [a, b] 的闭区间所覆盖过。
如果进行这样的拓展的话，那么我们需要使用「持久化树状数组」或者「主席树」来配合「容斥原理」来做。
基本思想都是使用 range[0,b] 的计数情况减去 range[0, a-1] 的计数情况来得出 [a, b] 的计数情况。
回到本题，由于数据范围很小，只有 50 ，我们可以使用「树状数组」进行求解：
void add(int x, int u)：对于数值 x 出现次数进行 +u 操作；int query(int x)：查询某个满足 <= x 的数值的个数。
那么显然，如果我们需要查询一个数值 x 是否出现过，可以通过查询 cnt = query(x) - query(x - 1) 来得知。
代码：
class Solution {
int n = 55;
int[] tr = new int[n];
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
void add(int x, int u) {
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += u;
}
int query(int x) {
int ans = 0;
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
return ans;
}
public boolean isCovered(int[][] rs, int l, int r) {
for (int[] cur : rs) {
int a = cur[0], b = cur[1];
for (int i = a; i <= b; i++) {
add(i, 1);
}
}
for (int i = l; i <= r; i++) {
int cnt = query(i) - query(i - 1);
if (cnt == 0) return false;
}
return true;
}
}
- 时间复杂度：令 [left, right] 之间整数数量为 n ，\sum_{i = 0}^{range.legth - 1}ranges[i].length 为 sum ，常数 C 固定为 55 。建树复杂度为 O(sum\log C) ，查询查询复杂度为 O(n\log{C}) 。整体复杂度为 O(sum\log{C} + n\log{C})
- 空间复杂度：O(C)
树状数组（去重优化）
在朴素的「树状数组」解法中，我们无法直接查询 [l, r] 区间中被覆盖过的个数的根本原因是「某个值可能会被重复添加到树状数组中」。
因此，一种更加优秀的做法：在往树状数组中添数的时候进行去重，然后通过 cnt = query(r) - query(l - 1) 直接得出 [l, r] 范围内有多少个数被添加过。
这样的 Set 去重操作可以使得我们查询的复杂度从 O(n\log{C}) 下降到 O(\log{C}) 。
❝由于数值范围很小，自然也能够使用数组来代替
Set进行标记（见 P2） ❞
代码：
class Solution {
int n = 55;
int[] tr = new int[n];
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
void add(int x, int u) {
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += u;
}
int query(int x) {
int ans = 0;
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
return ans;
}
public boolean isCovered(int[][] rs, int l, int r) {
Set<Integer> set = new HashSet<>();
for (int[] cur : rs) {
int a = cur[0], b = cur[1];
for (int i = a; i <= b; i++) {
if (!set.contains(i)) {
add(i, 1);
set.add(i);
}
}
}
int tot = r - l + 1, cnt = query(r) - query(l - 1);
return tot == cnt;
}
}
class Solution {
int n = 55;
int[] tr = new int[n];
boolean[] vis = new boolean[n];
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
void add(int x, int u) {
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += u;
}
int query(int x) {
int ans = 0;
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
return ans;
}
public boolean isCovered(int[][] rs, int l, int r) {
for (int[] cur : rs) {
int a = cur[0], b = cur[1];
for (int i = a; i <= b; i++) {
if (!vis[i]) {
add(i, 1);
vis[i] = true;
}
}
}
int tot = r - l + 1, cnt = query(r) - query(l - 1);
return tot == cnt;
}
}
- 时间复杂度：令 [left, right] 之间整数数量为 n ，\sum_{i = 0}^{range.legth - 1}ranges[i].length 为 sum ，常数 C 固定为 55 。建树复杂度为 O(sum\log C) ，查询查询复杂度为 O(\log{C}) 。整体复杂度为 O(sum\log{C} + \log{C})
- 空间复杂度：O(C + \sum_{i = 0}^{range.legth - 1}ranges[i].length)
线段树（不含“懒标记”）
更加进阶的做法是使用「线段树」来做，与「树状数组（优化）」解法一样，线段树配合持久化也可以用于求解「在线」问题。
与主要解决「单点修改 & 区间查询」的树状数组不同，线段树能够解决绝大多数「区间修改（区间修改/单点修改）& 区间查询」问题。
对于本题，由于数据范围只有 55 ，因此我们可以使用与「树状数组（优化）」解法相同的思路，实现一个不包含“懒标记”的线段树来做（仅支持单点修改 & 区间查询）。
代码：
class Solution {
// 代表 [l, r] 区间有 cnt 个数被覆盖
class Node {
int l, r, cnt;
Node (int _l, int _r, int _cnt) {
l = _l; r = _r; cnt = _cnt;
}
}
int N = 55;
Node[] tr = new Node[N * 4];
void pushup(int u) {
tr[u].cnt = tr[u << 1].cnt + tr[u << 1 | 1].cnt;
}
void build(int u, int l, int r) {
if (l == r) {
tr[u] = new Node(l, r, 0);
} else {
tr[u] = new Node(l, r, 0);
int mid = l + r >> 1;
build(u << 1, l, mid);
build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
pushup(u);
}
}
// 从 tr 数组的下标 u 开始，在数值 x 的位置进行标记
void update(int u, int x) {
if (tr[u].l == x && tr[u].r == x) {
tr[u].cnt = 1;
} else {
int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
if (x <= mid) update(u << 1, x);
else update(u << 1 | 1, x);
pushup(u);
}
}
// 从 tr 数组的下标 u 开始，查询 [l,r] 范围内有多少个数值被标记
int query(int u, int l, int r) {
if (l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) return tr[u].cnt;
int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
int ans = 0;
if (l <= mid) ans += query(u << 1, l, r);
if (r > mid) ans += query(u << 1 | 1, l, r);
return ans;
}
public boolean isCovered(int[][] rs, int l, int r) {
build(1, 1, N);
for (int[] cur : rs) {
int a = cur[0], b = cur[1];
for (int i = a; i <= b; i++) {
update(1, i);
}
}
int tot = r - l + 1 , cnt = query(1, l, r);
return tot == cnt;
}
}
- 时间复杂度：令 [left, right] 之间整数数量为 n ，\sum_{i = 0}^{range.legth - 1}ranges[i].length 为 sum ，常数 C 固定为 55 。建树复杂度为 O(sum\log C) ，查询查询复杂度为 O(\log{C}) 。整体复杂度为 O(sum\log{C} + \log{C})
- 空间复杂度：O(C * 4)
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1893 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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