实变函数期末复习笔记
如有错误，敬请指正！
Chap1 集合
什么叫两个集合对等
若A,B是非空集合，且存在双射\phi:A\rightarrow B，称A与B对等，记为A\sim B，规定\varnothing \sim \varnothing.
简述 Bernstein 定理
设A,B是两个非空集合，如果A对等于B的一个子集，B又对等于A的一个子集，那么A对等于B.
Chap2 点集
简单描述 Cantor 集的构造过程
- 将[0,1]三等分，去掉中间的开区间(\frac{1}{3},\frac{2}{3}),将剩下的两个区间[0,\frac{1}{3},]和[\frac{2}{3},1]，记为E_1
- 再把这两个闭区间三等分，去掉中间的开区间(\frac{1}{9},\frac{2}{9})和(\frac{7}{9},\frac{8}{9})，剩下2^2个区间，记为E_2
- \dots
- 当进行到第n次时，得到2^n个长度为3^{-n}的互不相交的区间，去掉了2^{n-1}个区间，记这2^n个区间为E_n
- 如此进行下去，就从[0,1]中去掉了可数多个无公共端点的开区间，余下的区间称为 Cantor 三分集
Chap3 测度论
给出外测度的定义
E\in \mathbb{R}^n,E的外测度定义为
其中 I_i 是开区间
可测集的定义
设E为\mathbb{R}^n中点集，如果对任一点集T，都有
则称E是L可测的，E称为可测集
Chap4 可测函数
给出可测函数的定义
设f(x)是定义在可测集E\subset\mathbb{R}^n上的实函数，如果对于任何有限实数a，E[f>a]f(x)为定义在
简述 Luzin 定理
设f(x)是E上a.e.有限的可测函数，则对任意\delta>0F_\delta\subset E，使f(x)在F_\delta上是连续函数，且m(E\verb|\|F_\delta)<\delta
Luzin 定理的逆定理
设f(x)是可测集E上的函数，则对任意\delta>0F_\delta\subset E，使f(x)在F_\delta上连续且m(E\verb|\|F_\delta)<\deltaf(x)在E上a.e.有限
Chap5 积分论
Lebegue 积分如何建立
用数学语言分步骤描述，一般可测函数的 Lebegue 积分是怎样通过简单分数的 Lebegue 积分、非负可测函数的 Lebegue 积分建立起来的
TODO
一般可测的 Lebegue 可积的定义
TODO
Levi 定理
设E\subset \mathbb{R}^n为可测集，\{f_n\}_{n=1}^{\infty}为E上的一列非负可测函数，当x\subset E时，对任一整数n有f_n(x)\le f_{n+1}(x)，令f(x)=\lim\limits_{n \to \infty}f_n(x)，x\in E，则
逐项积分定理
设E\subset \mathbb{R}^n为可测集，\{f_n\}_{n=1}^{\infty}为E上的一列非负可测函数，则 h
Fatou 引理
设E\subset \mathbb{R}^n为可测集，\{f_n\}_{n=1}^{\infty}为E上的一列非负可测函数，则
Lebegue 控制收敛定理
设E\subset \mathbb{R}^n为可测集，\{f_n\}_{n=1}^{\infty}为E上的一列非负可测函数，F是E上非负L可积函数，如果对于任意正整数n，|f_n(x)|\le F(x)a.e.于E，且\lim\limits_{n \to \infty}f_n(x)=f(x)a.e.于 E，则
$$ \lim\limits_{n \to \infty}\int_E|f_n(x)-f(x)|dx = 0 \\ \lim\limits_{n \to \infty}\int_E f_n(x)dx=\int_Ef(x)dx $$
Riemann 可积的充要条件
设f_n(x)在[a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上R可积的充要条件是f(x)在[a,b]上a.e.连续，即f(x)的不连续点全体成一零测度集。
- f(x)的下方图形
设f(x)是E\subset\mathbb{R}^n上的非负函数，则\mathbb{R}^{n+1}中的点集\{(x,z):x\in E, 0\le z \le f(x)\}称为f(x)在E上的下方图形，记为G(E,f)
- 非负可测函数的几何意义定理
设f(x)是E\subset\mathbb{R}^n上的非负函数，则
$$ f(x)是 E 上可测函数充要条件是 G(E,f)是\mathbb{R}^n 上的非负函数) \\ 当 f(x)在 E 上可测时，\int_Ef(x)dx=mG(E,f) $$
Fubini 定理
设f(P)=f(x,y)在A\times B \subset \mathbb{R}^{p+q}上可积，则对a.e.的x\in A，f(x,y)作为y的函数在B上可测，且
Chap6 微分与不定积分
单调递增函数的 Lebegue 定理的三个结论
设f(x)为[a,b]上的单调增函数，则
1.f(x)在[a,b]
$[a,b]$上有界变差函数的定义
设f(x)为[a,b]上的有限函数，如果对于[a,b]中的一切分划T，使
成一有界数集，则f(x)为[a,b]上的有界变差函数
有界变差函数的 Jordan 分解定理
在[a,b]上的任一有界变差函数f(x)都可以表示成两增函数之差
绝对连续函数的定义
设F(x)为[a,b]上的有限函数，如果对于任意的\varepsilon>0\delta>0[a,b]中互不相交的任意有限个开区间(a_i,b_i) i=1,2,3\cdots,n，只要
就有
称F(x)为[a,b]上的绝对连续函数