最短路径之Dijkstra(迪杰斯特拉)算法（无向图）

全栈程序员站长

发布于 2022-09-05 14:43:06

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大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

简介

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。由for循环可知，其时间复杂度是O（n^2）。

原理

在已知图的邻接矩阵net.vexs[i][j](无向网，含权值的图)的条件下，通过遍历已知图的所有路径，用dis[i]数组来记录到i点的最短路径，然后在循环中不断判断更替。首先，将所有点的集合分为俩部分，一边是已经遍历过的，另外一边是没有遍历过的，分别用mark[i]=1、mark[i]=0来表示。

代码通解

在下面代码中，先将赋予初始值dis[i]=INF(无穷大)、mark[i]=0（未标记），而后单独将源点（x）所联通的路径权值net.arcs[x][i]赋予dis[i](<INF称为初始化)，i为联通的点，暂定为到i的最短路径，标记mark[x]=1，即已经遍历;然后，在一个for遍历了所有节点的大循环里面：

①寻找遍历到点联通路径（与之相连线的点）中权值最小的一条；标记遍历点；

②修正最短路径；

而后，便是已经遍历所有点了，dis[i]也在不断的修正中得到真正的最小值，即最短路径。详情看下列代码：

#define MAXSIZE 20
#define PLACENUM 12
#define INF 9999           // 此处定义999为无穷大

struct
{
    int vexnum,arcnum;  //节点数和边数
    int vexs[MAXSIZE];      // 节点名
    int arcs[MAXSIZE][MAXSIZE];   //俩个节点之间的值
} net;
/*补充的结构体net,2019.7.3*/

void Dijkstra(int x,int y)      // x为源点，y为终点
{
    int i,j,k;
    int min;
    int u;   //下一个放入集合p的点
    int dis[net.vexnum];   //  最短路径
    int mark[net.vexnum];   //   被mark的便是已经遍历,未被mark的便是未遍历
    /*首先进行最短路径初始化*/
    for(i=0; i<net.vexnum; i++)
    {
        mark[i] = 0;
        dis[i] = net.arcs[x][i];
    }


    mark[x]=1;          // 标记源点
    
    
    for(k=0; k<net.vexnum; k++)          // for 大循环
    {
        min = INF;   //  min初始化最大值，便于后来数据替换（每一个点的出度入度判断）
        
        /*寻找遍历到点联通路径（与之相连线的点）中权值最小的一条； 标记遍历点；*/
        for(i=0; i<net.vexnum; i++)
        {
            if(mark[i]==0&&min>dis[i])      //判断未遍历点 且 被赋值的最短路径（dis[i]<INF），未被赋值的点     //                                                     应当min==dis[i]=INF
            {
               min = dis[i];             //在已知赋值最短路径中，寻找权值最小的点并将他作为下一个遍历 
               u=i;                            //点u点
            }
        }


        mark[u]=1;      //标记u点，下面u修正将会以最短路径进行辐射
 
        /*修正最短路径*/
        for(i=0;i<net.vexnum;i++)
        {
            if(!mark[i]&&dis[i]>dis[u]+net.arcs[u][i])                 // ！mark[i]判断不去走回头路，         //                                                                                dis[i]>dis[u]+net.arcs[u][i]有俩个用途：①若u链接的是x源点没有赋值最短路径的点，那么这里可以赋值②若是赋值过的点，那么可以判断是上一个dis[i]（此时是被赋值过的）是不是真正的最短路径，即修正。

            {
                dis[i] = dis[u] + net.arcs[u][i];      //若A->C比A->B->C更长那么A->B->C则是到C的最短路径，下图将解释。
         
                   }
             }
    }
     printf("最短路径值为：             %d",dis[y]);
}

我们以A，B，C三个点来举例子，三个点的最短路径分别为dis[0]、dis[1]、dis[2]。

①A为源点初始化，dis[B]=3 (到B的最短路径，dis[1]), dis[C]=6；

②dis[B]<dis[C],选取B为u下一个遍历点;与B相联的有A（不走回头路）、E、C;

③E未赋值，赋予dis[E]; C被之前赋予过,比较 dis[C] > dis[B] + net.arcs[B][C] (要不然你根本进不了这儿)，重新赋值dis[C] = dis[B]+net.arcs[B][C];

④大循环遍历所有点，走遍天下。

我觉得下面几张图很不错，图片取自https://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html

图一

图二

19.3.24

关于修正最短路径

请参考一下文中引入的动图（图一）和表格图（图二），迪杰斯特拉求最短路径是，将需要遍历的点集合一个个进行遍历的。！mark[i]是需要其值为false(尚未遍历到，这是相对于当前遍历点)，当然，这就实现了它不会往回走，同时记录它“向前走”的最短距离点u，在其基础上（修正循环），与u点相连的未被标记（遍历到）的点记其中一个为z，判断源点x->z点们的dis（最短）值是否大于x->u->z点们的距离，如果大于，更新z点们的最新（新的路径）最短距离，在已知最短距离的情况下然后进行更新，直到遍历完所有的点集合（所有路径）。从源点往外辐射就能够理解了。

比如说1，2，3为三角形相互联系。当前是2。已经遍历了1，赋予了1->2、1->3、1->6的dis值，那么在修正部分就会从u(设12、13、16中12距离最小)，也就是2往外与没遍历且相邻的3和4判断以下：1->3大于1->2->3? 1->4大于1->2->4?，如果大于，更新dis值，此为修正，这里在已知最短距离1->2的基础上修正了1->3和1->4的dis值。同理到3的时候会修正源点(x/1)到4和到6的最短距离。

下图圆形为已遍历点，方形为未遍历的集合数据，实线为相邻连线，虚线为修正过程。

PS：mark是已经被找过从该点出发的相邻路径，修正在已知最短距离的情况下(u)，进行辐射，也就相对于找了u的所有相邻路径来比较更新（!mark[i]&& dis[i]>dis[u]+net.arcs[u][i]），但他并未记录u辐射的路径中的相邻最短路径（需要大循环）。

遍历第一个点——1的过程

遍历点2的过程

21.4.16

关于负权值问题

迪杰斯特拉本质上是贪心：找局部最优解，前提是最终的结果是由不断简化问题的局部最优解组成的，贪心是一种特殊的动态规划：他只关注局部最优解（但是我们知道局部最优解不一定是全局最优）。弗洛伊德是动态规划。这里体现出一点：迪杰斯特拉只是单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。而弗洛伊德则是算出所有的点之间的最短路径（多对多）。

那么我们再看负权值问题：迪杰斯特拉：每次修正，我们只会修正当前点所连接的，未被遍历过的（mark[i]），注意前面这句话有两个条件。那么久说明他不会修改早已经（很久以前）就已经确定的最短路径，因为已经确定了是局部最优解，这里在代码里面也能看出来。而也因为这样，弗洛伊德是是能够算负权的（他可以更新“早已经”确定的最短路径，因为他要算出全部点之间的最短路径），值得注意的是弗洛伊德不能解决带有“负权回路”(或者叫“负权环”)的图,因为带有“负权回路”的图没有最短路。

除此之外，求带负权值边的单源最短路径还可以用贝尔曼-福特算法。至于迪杰斯特拉比弗洛伊德快，也是因为他是单源的缘故。