EK (Edmond-Karp) 算法 学习笔记
EK (Edmond-Karp) 算法 学习笔记
什么是EK算法
EK (Edmond-Karp) 算法，说白了就是求最大流/费用流之类的问题的算法。
什么是最大流
定义
带权的有向图G=(V,E)，满足以下条件，则称为网络流图(flow network)：
- 仅有一个入度为0的顶点s，称s为源点。
- 仅有一个出度为0的顶点t，称t为汇点。
- 每条边的权值都为非负数，称为该边的容量，记作c(i,j)。
- 通过容量网络G中每条弧< u,v>f(u,v)，称为弧的流量。
简单来说就是水流从一个源点s通过很多路径，经过很多点，到达汇点t，问你最多能有多少水能够到达t点。 从s到t经过若干个点，若干条边，每一条边的水流都不能超过边权值（可以小于等于但不能大于） （由于是来学EK算法的，最大流什么的详细解读就不说了）
例题
题意
给出一个网络图，以及其源点和汇点，求出其网络最大流。
思路
这是最大流的模板题，请往下阅读。
增广路
增广路定义
增广路是指从源点s到汇点t的一条路，流过这条路，可以使得当前的流可以增加。
如何求增广路
其实就是从源点s开始bfs即可，到达汇点t时，然后找到这个路径的权值的最小的边，然后把路径上的每一条边减去这个最小值即可。
Code
寻找增广路
queue<int> q;//队列
bool bfs(){
while(!q.empty()) q.pop();//清空
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(pre,-1,sizeof(pre));
vis[s]=1;//源点标记
q.push(s);//入队
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
for(int i=fir[u];i;i=nxt[i]){
int to=son[i];
if(vis[to]==0&&w[i]!=0){
pre[to].v=u;
pre[to].edge=i;//记路径
if(to==t) return 1;//到达t点
vis[to]=1;
q.push(to);//拓展
}
}
}
return 0;
}定义
int n,m,s,t,vis[MAXN];
int fir[MAXN],nxt[MAXN],w[MAXN],son[MAXN],tot=1,ans;//领接表
struct edge{
int v,edge;//用来记路径
}pre[101010];EK算法核心（你别急，我还没说完）
int EK(){
ans=0;
while(bfs()){
int Min=2e9;
for(int i=t;i!=s;i=pre[i].v){
Min=min(Min,w[pre[i].edge]);
}
for(int i=t;i!=s;i=pre[i].v){
w[pre[i].edge]-=Min;
}
ans+=Min;
}
return ans;
}这样很明显是错误的。。。
反向边
为什么要建反边
为什么不建反边(逃： 非常显然，如果第一次流错了使其无法得到最大流怎么办？ 就比如这张图：
然而bfs沙雕的选了上面一条路怎么办。。。 所以这时候就需要反向边出场了 一开始用反向边建一个比边权为0的边。就像这样↓
然后每次bfs以后给相应的反边加上流量，正边减去流量。
Code
int EK(){
ans=0;
while(bfs()){
int Min=2e9;
for(int i=t;i!=s;i=pre[i].v){
Min=min(Min,w[pre[i].edge]);
}
for(int i=t;i!=s;i=pre[i].v){
w[pre[i].edge]-=Min;//减去流量
w[pre[i].edge^1]+=Min;//加上流量
}
ans+=Min;
}
return ans;
}回归例题
所以这道最大流的模板题代码：
Code
#include<algorithm>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<deque>
#include<exception>
#include<fstream>
#include<functional>
#include<iomanip>
#include<ios>
#include<iosfwd>
#include<iostream>
#include<istream>
#include<iterator>
#include<limits>
#include<list>
#include<locale>
#include<map>
#include<memory>
#include<new>
#include<numeric>
#include<ostream>
#include<queue>
#include<set>
#include<sstream>
#include<stack>
#include<stdexcept>
#include<streambuf>
#include<string>
#include<typeinfo>
#include<utility>
#include<valarray>
#include<vector>
#include<cctype>
#include<cerrno>
#include<cfloat>
#include<ciso646>
#include<climits>
#include<clocale>
#include<cmath>
#include<csetjmp>
#include<csignal>
#include<cstdarg>
#include<cstddef>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
using namespace std;
#define MAXN 200010
inline int read(){
int res=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') res=res*10+ch-'0',ch=getchar();
return res*f;
}
inline void write(int x){
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(x<10) putchar(x+'0');
else{
write(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
}
//queue<int> q;
//set<int> s;
//priority_queue<int> q1;
//priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q2;
//list<int> l;
//stack<int> s;
int n,m,s,t,vis[MAXN];
int fir[MAXN],nxt[MAXN],w[MAXN],son[MAXN],tot=1,ans;
struct edge{
int v,edge;
}pre[101010];
void add(int x,int y,int z){
++tot;
nxt[tot]=fir[x];
fir[x]=tot;
w[tot]=z;
son[tot]=y;
}
queue<int> q;
bool bfs(){
while(!q.empty()) q.pop();
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(pre,-1,sizeof(pre));
vis[s]=1;
q.push(s);
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
for(int i=fir[u];i;i=nxt[i]){
int to=son[i];
if(vis[to]==0&&w[i]!=0){
pre[to].v=u;
pre[to].edge=i;
if(to==t) return 1;
vis[to]=1;
q.push(to);
}
}
}
return 0;
}
int EK(){
ans=0;
while(bfs()){
int Min=2e9;
for(int i=t;i!=s;i=pre[i].v){
Min=min(Min,w[pre[i].edge]);
}
for(int i=t;i!=s;i=pre[i].v){
w[pre[i].edge]-=Min;
w[pre[i].edge^1]+=Min;
}
ans+=Min;
}
return ans;
}
int main(){
n=read();m=read();s=read();t=read();
for(int x,y,z,i=1;i<=m;i++){
x=read();y=read();z=read();
add(x,y,z);
add(y,x,0);
}
write(EK());putchar('\n');
return 0;
}EK算法拓展
费用流问题
Code
#include<algorithm>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<deque>
#include<exception>
#include<fstream>
#include<functional>
#include<iomanip>
#include<ios>
#include<iosfwd>
#include<iostream>
#include<istream>
#include<iterator>
#include<limits>
#include<list>
#include<locale>
#include<map>
#include<memory>
#include<new>
#include<numeric>
#include<ostream>
#include<queue>
#include<set>
#include<sstream>
#include<stack>
#include<stdexcept>
#include<streambuf>
#include<string>
#include<typeinfo>
#include<utility>
#include<valarray>
#include<vector>
#include<cctype>
#include<cerrno>
#include<cfloat>
#include<ciso646>
#include<climits>
#include<clocale>
#include<cmath>
#include<csetjmp>
#include<csignal>
#include<cstdarg>
#include<cstddef>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#define int long long
using namespace std;
#define MAXN 200010
inline int read(){
int res=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') res=res*10+ch-'0',ch=getchar();
return res*f;
}
inline void write(int x){
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(x<10) putchar(x+'0');
else{
write(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
}
//queue<int> q;
//set<int> s;
//priority_queue<int> q1;
//priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q2;
//list<int> l;
//stack<int> s;
int n,m,s,t,vis[MAXN],dis[MAXN],anss;
int fir[MAXN],nxt[MAXN],w[MAXN],son[MAXN],tot=1,ans,cost[MAXN];
struct edge{
int v,edge;
}pre[101010];
void add(int x,int y,int z,int c){
++tot;
nxt[tot]=fir[x];
fir[x]=tot;
w[tot]=z;
son[tot]=y;
cost[tot]=c;
}
queue<int> q;
bool spfa(){
while(!q.empty()) q.pop();
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(pre,-1,sizeof(pre));
memset(dis,63,sizeof(dis));
dis[s]=0;dis[t]=2e9;
vis[s]=1;q.push(s);
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();vis[u]=0;
for(int i=fir[u];i;i=nxt[i]){
int to=son[i];
if(w[i]>0&&dis[to]>dis[u]+cost[i]){
dis[to]=dis[u]+cost[i];
pre[to].edge=i;
pre[to].v=u;
if(vis[to]==0){
vis[to]=1;
q.push(to);
}
}
}
}
if(dis[t]<2e9) return 1;
return 0;
}
int EK(){
ans=0;anss=0;
while(spfa()){
int Min=2e9;
for(int i=t;i!=s;i=pre[i].v){
Min=min(Min,w[pre[i].edge]);
}
for(int i=t;i!=s;i=pre[i].v){
w[pre[i].edge]-=Min;
w[pre[i].edge^1]+=Min;
}
anss+=Min;
ans+=Min*dis[t];
}
return ans;
}
signed main(){
n=read();m=read();s=read();t=read();
for(int x,y,z,c,i=1;i<=m;i++){
x=read();y=read();z=read();c=read();
add(x,y,z,c);
add(y,x,0,-c);
}
EK();
write(anss);putchar(' ');
write(ans);putchar('\n');
return 0;
}本文参与 腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自作者个人站点/博客。
原始发表：2019-04-03
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