题目256
设
,则函数
(A)仅有
个间断点 (B)仅有
个间断点,其中
个可去,
个无穷 (C)仅有
个间断点,
个都是跳跃 (D)有
跳跃间断点和
个可去间断点
解答
常用极限结论:
时:
时:
时:
时:
,
故
为 跳跃间断点
,故
是 可去间断点
因此,两个跳跃,一个可去
题目257
设
在
处连续,且
在
的某去心邻域有界,求
的值
解答
泰勒展开你就慢了,这题武老师的方法秒杀,妙啊
由
在
时有界
故
故
当然本题也可以通分,泰勒展开算,就是有点慢了
题目258
已知函数
在
上有一个可去间断点和一个跳跃间断点,求
的值
解答
能且只能在分母为
处,出现题目的两个间断点:
处和
时:
显然
时:
由于不存在第二类间断点,故分母趋于零的间断点必定会被分子抵消
则可知
,得出
此时:
为可去间断点,故
为跳跃间断点
故
题目259
函数
,在
处
(A)连续且取极大值 (B)连续且取极小值 (C)可导且导数为
(D)可导且导数不为
## 解答
故
在
处连续
故
在
处导数为
题目260
下列函数中在
处不可导的是( )
解答
变上限积分在一点 可导性 取决于被积函数在该点的 连续性
显然 (A) 可导
- 选项:
故(B)在
也可导
- 选项:
,
故(C)在
也可导
- 选项:
不存在
故选
题目261
看似很像导数定义,但实则存在许多问题
解答
例如
则该式子只能说明在
处的 右导数 存在,反例
反之
则该式子只能说明在
处的 右导数 存在,反例
因此必须满足
不是 恒正或恒负 的才能满足在
点的导数定义
故不能 正推
反过来也不成立,如果
则该式为 未定义式,故当然 极限不存在
因此 即非必要也非充分条件
看了一下武老师的讲解,他把
这个是更好说明的例子
因为他在趋于
的任意邻域内都有等于
的值,且满足了极限为0
该例子更值得记忆
题目262
已知
为奇函数,则
存在是
在
处可导的( )条件
解答
"
":显然
"
":
左导数
右导数
导数存在
故是 充要条件
题目263
已知函数
在
的邻域内可导,则
是
在
的某邻域内单调增的 ( ) 条件
解答
一点处导数大于零,只能说明左高右低 一点处二阶导数大于零,可以推单调性(相当于上面的升维,六套卷里考过了)
这是一个经典概念题,被换形式考了无数次了
那就是函数 在一点邻域内单调增 不能推出在 该点导数
例如:
以及函数在 一点导数
不能推出在 该点邻域内单调增
例如:
在
任意邻域 内都不具有 单调性
同时他在
处
这种时候往往就是要请出我们的震荡间断点hh
综上所述,为 非充分非必要 条件
题目264
设函数
在
的某个邻域有定义,则下列命题
- 若
存在,则
在
处连续
- 若
都存在,则
在
处连续
- 若
都存在,则
在
处连续
- 若
存在,则
在
处连续
解答
命题一:可导必连续,故正确
命题二:左右导数存在,则可以写出如下定义:
存在,
存在
故
且
由于 左连续 且 右连续 故在该点 连续
故正确
命题三:导数的极限 存在,必然不能推得在该点连续
读者可以随意写两个函数,然后分段后在一点上跳跃间断即可
例如
在
跳跃间断,但左右导数极限存在
故错误
命题四:同理上面,推不了,函数可以在这一点 可去间断
邻域内的导数极限,不受到该点的影响
故错误
看见 堡 的理解很棒:函数可导就一定连续,左可导左连续,右可导右连续
题目265
设曲线
与
在点
处相切
,则 {x1}(f(x)+1-)^{} = _____
解答
两曲线在一点处 相切,说明在该点处:
- 坐标相同
- 切线斜率相同
利用这两点建立方程即可
坐标相同:
切线斜率相同:令
故:
故:
题目266
确定函数
不可导的点的个数
解答
之前说过的一个知识点,不可导点个数,不外乎分析 分段点 即可
由分段函数的一个已知结论:
,
,
令
,由于
是 奇函数,故只需研究大于等于0的部分
找出
的零点:
,
故由 零点定理 可知至少存在一个零点满足
又
可知
在
有且仅有一个零点
设该点为
,因此
时单调递减,
时单调递增
又
,故存在一个零点
综上所述,共
个零点
题目267
设
若
,则:
不存在
不存在
解答
这是 30讲 第一章的某习题,直接做就完事了,先把复合函数的分段形式写出来:
则
故 A,B错误 (B上来就可以排错,初等函数在区间内都是连续的)
又
故 C正确,D错误
题目268
设
函数
可导,求
的导数
解答
时:
本题一大 踩分点 时发现
在
趋于
时,会无限取到
,因此不能直接使用 导数定义
时:(导数定义分类讨论)
x = 时:\((k\to\infty,k\in \mathbf{Z})\)
x 时:\((k\to\infty,k\in \mathbf{Z})\)
综上
本题 武老师 要的是 复合函数链导法:
通过证明
在
处可导,即
存在且
,又
存在,故
存在
题目269
设函数
在
上可导,且
,求
解答
令
,换元可得
,左右取积分:
代入初值:
,故
,于是有:
题目270
设可导函数
由方程
所确定的
其中可导函数
,且
,求
解答
隐函数求导问题,显然
时,
,然后对方程两侧求导有:
有:
再求一次导:
有:
题目271
设
是函数
的反函数,求
解答
关于
求导有:
,化简可得:
再求一次导可得: