题目356
已知
,求
解答
像这种已知极限,反求抽象函数,最好的方法是 等式脱帽法,其次是 泰勒展开 配凑
由
其中
代入所求极限:
对于没有 抽象函数 在的极限,我们的手段就很多了,这里既可以 拆项 做,也可以 洛必达
题目357
解答
幂指函数求极限,先取指对数,然后单独处理指数部分
分子是加减法,且在加号处直接拆开精度不够,可以考虑 加减交叉项,或考虑 泰勒展开
故极限 = _{x0^+} = 0
原极限 = e^0 = 1
题目358
设
连续,且
,则
解答
幂指函数先取指对数,然后单独处理指数部分
变上限积分函数求极限,考虑求导去积分符号
而被积函数中如果含有积分上限变量,优先考虑分离
倒数第四步用了 积分中值定理,然后又由于
连续,且
故直接带入
故原极限 =
题目359
解答
遇到绝对值,先考虑去绝对值,这里直接分类讨论即可
写到这一步,就不用考虑用洛必达去积分符号了,可以考虑直接把积分解出来
然后不难发现,分母从头到尾都没动过,故其实是不用分类讨论的,可以直接得出:
题目360
解答
故原式 = e^{e + 1} _{x0} = e^{e + 1}
题目361
解答
无限项的合式极限,考研范围内只需要掌握的两种方法:
- 放缩夹逼
- 定积分定义
本题形式很像是 定积分定义,但是怎么都凑不出想要的形式
这时又看见了
的因式,故想到一个常见不等式
右侧可以用定积分定义,左边放缩分母继续夹逼
右侧:
左侧:
同理:
故:
于是有:
由夹逼准则可得:
题目362
解答
幂指函数化成指对数,单独处理指数部分:
无穷项合式极限,考虑放缩:
求出左侧极限:
求出右侧极限:
由夹逼准则可得:
故原极限:
题目363
解答
幂指函数化成指对数,单独处理指数部分:
单独观察对数部分,由于
与
是同一个数量级的
,故考虑定积分定义
由于该结果是非零因式,直接代入指数的极限中:
由于
,故
,因此
由此可知:
故原极限为:
题目364
下列结论中正确的是
(A)若
,且
,则
(B)若
,且
,则
(C)若
,则
(D)若
,则
解答
(A)选项
显然不对,我们直接构造分段函数
则
,且
(B)选项
错误,
说的是去心邻域情况,故我们可以挖空
在
处的定义
然后令
,则
显然无意义
如果这题限制
必须在
邻域内有定义,则可以让
为可去间断点
(C)选项
显然不对,构造分段函数
(D)选项
显然正确,海涅准则:收敛函数
任意子列都收敛
题目365
设数列 {
},已知
,则下列结论正确的是( )
(A){
} 必收敛;
(B)若 {
} 单调,则 {
} 必收敛;
(C)若 {
} 有界,则 {
} 必收敛;
(D)若 {
} 收敛,则 {
} 必收敛;
解答
(A)选项
显然错,
,可能是 "
" 型
例如:
,
(B)选项
显然错,反例:
(C)选项
错误,反例:
(D)选项
正确,
,则
同理
,则所有子列都收敛到同一个值
原数列也收敛该值
题目366
设
有连续一阶导数,且
数列
.
证明:极限
存在且是方程
的唯一实根.
解答(逆用牛顿莱布尼茨公式)
由于
,则数列 {
} 单调,又
易知
收敛(比较在广义瑕点的阶)
由单调有界准则:{
} 收敛,故
存在
令
,则有
,故
是
的一个解
于是
至少有一个解,现证明至多有一个解
令
,则
,故
单调递增
所以
至多有一解,综上
为
的唯一解
题目367
设
,且当
时,
是比
高阶的无穷小,则( )
(A)
(B)
(C)
(D)
解答
常用展开:
正常做,直接用抽象泰勒展开即可
但是这题是选择题,应该用选择题的技巧
首先
是奇函数,故
又
,故
A、B、C 全部划掉,这题选 (D)
加餐题目367
设
若
与
在
时是等价无穷小,求参数.
解答
泰勒展开:
故