22届考研模拟卷(公共数学二)汇总

一只野生彩色铅笔

发布于 2022-09-20 11:17:08

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发布于 2022-09-20 11:17:08

文章被收录于专栏：彩铅的随笔博客

现在是 2022-1-1，我简单的点评一下今年各位老师的出卷，如果读者想刷这一年的，可以作为参考

如果是刚开始刷套卷，建议先把历年真题做完，这样在刷各老师套卷的时候，难易度就多少有点自己的把握了

例如像张宇今年的八套卷和四套卷，做了几套之后我就知道没有做的必要，出的很多就不是考研范围内的东西

刷完真题后，大家可以每天上午预定 8:30 - 11:30 做一张数学卷子模拟考试状态

然后中午或下午花 1～2 个小时对整张卷子做一个总结，可以参考我的做法

对于 22 年的模拟卷，首先是难易度rank：（张8+4就不排了，没有任何难度参考性）

真题奇数年 < 李林六套卷 < 余丙森五套卷 < 真题偶数年 ~ 李林四套卷 < 合工大超越 << 李艳芳三套卷

上述只是一个模糊的排名，具体每个套卷中会有一两套特别难或者特别简单的

以及今年的李艳芳三套卷的前两套出的异常难，可以不掐表做，收获还是很大的

李艳芳虽然是最难的，但是我还是推荐刷，并且仍不推荐张宇8+4 因为他们难的维度不一样，李艳芳是在考研范围内，命题了很多新的设问角度，做过之后都是连连拍手张宇的8+4完全就是在玩自己教的东西，什么矩阵QR分解，拉格朗日第二型...，考研就没考过，完全是他18讲自己加的有些还是研一要上的《矩阵论》里的东西，对于不学竞赛只是考研的同学，不具有任何参考意义以及有人说张宇今年压中考题的，现在拿到真题的各位，可以认真比对一下两题首先张宇自称压中的那题，每一个辅导书上都有，那是经典的琴生不等式而今年那道真题，是证明充要性，各位的辅导书上证明的是充分性充分性的证明我愿称有手就行，直接令变上限积分求两次导找单调性就好了，还比张八上的泰勒展开不知道简单多少所以并不是谁最先发微博，谁就是压中题的，还请读者保有批判的思维去看一件事

然后说一下刷套卷的顺序

先刷真题，真题从 05 年刷到去年，可以根据需要留 1 套即可

由于李四和合工大是12月才出，后期很可能会没时间刷，不要留超过 1 套

然后顺序是：李六 -> 张八 -> 余丙森 -> 李艳芳 -> 张四 -> 李四 -> 合工大

这个难度曲线是一个双峰函数，刷完李艳芳到达第一个极大值点，之后好好总结能力会有巨大的提升

张八/四我还是写进去了，大家做的时候也可以不掐表做这两个，作为做过真题的你，这个时候应该知道哪些是根本不会考的知识点，自己也可以不必钻牛角尖，直接把那些张宇题给跳过

这一套最晚开始时间是10月，我就是这个时间开始的，看完 Ti10 之后开始从 05 年真题刷的

总而言之，加油吧同学 (w)

合工大超越

卷一

选择题

等价无穷小，泰勒展开，凑导数定义

[ \lim_{x\to0}\frac{x^2}{f(x)} = \lim_{x\to0}\frac{x}{\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}} = \lim_{x\to0}\frac{x}{f'(0)} = 1 ]

可知

f'(0) = 0

，又通过保号性易知，为极小值点本题还可以用等式脱帽法来做，展开后就可以直接洛必达了，否则不能使用洛必达

简单题
余丙森五套卷出过，几何上易得，数学证明上做差，然后拆分区间，再换元到相同区间即可

[ \begin{aligned} I - J &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx \\\\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^0 \dfrac{\sin x - \cos x}{1+(\dfrac{\pi}{2} - x)^2}dx \\\\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\cos x - \sin x}{1+x^2}dx + \int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos x - \sin x}{1+(\dfrac{\pi}{2} - x)^2}dx \\\\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \cdot (\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+(\dfrac{\pi}{2} - x)^2})dx > 0 \end{aligned} ]

李林四套卷出过，构造辅助函数求二阶导即可
利用解的结构反向构造二阶常系数非齐次微分方程
利用可微定义，洛必达求极限
二重积分定义，建议看这个视频学习一下这类问题定积分定义求极限的题
二次函数不能分解的问题
感觉题目出错了，不然就是显然
简单题

填空题

高阶导数，泰勒展开
先代还

x = e^t

再两侧同时积分即可

多元函数求一点处的导数，可以用先代再求的技巧
比较瑕点的阶
二重积分极值互化
惯性定理，利用零惯性指数为1，行列式为零

解答题

这题不能出现

f''(x)

故不能使用洛必达法则，可以在

x = 0

处用泰勒展开

多元函数无条件极值，条件极值部分直接用不等式放缩即可
武老师每日一题出过，简单题
变量可分离的齐次型，解出来后是一个圆，计算量中等
二重积分，积分域对称性化简，然后极值互化做
第一问用到了特征值之和等于迹第二问注意给的矩阵

不是对称阵，先手动分配一下系数再正常做即可

卷二

选择题

等式脱毛法，泰勒展开都可
常用结论，求

x=0

的左右导数令相等易得

利用解的结构构造齐次线性微分方程，也考了太多次了
简单题，几何直观显然
都是经典的范例，不多解释
隐函数存在定理，余五中提过了，这里再写一次：
F
在点
(x_0,y_0)
某邻域
D
内连续
F(x_0,y_0) = 0
（通常称为初始条件）
F
在某邻域
D
内存在连续偏导数
F_y(x,y)
F_y(x_0,y_0) \ne 0
（一般是验证最后一个条件）
先算二重积分，再解一个定积分，简单题
常用结论
说一下我的做法，由四个等式易得：

[ \begin{cases} \alpha_1 - \alpha_2 - 2\alpha_3 + \alpha_4 = 0 \\\\ -\alpha_1 + \alpha_2 - 2\alpha_3 - \alpha_4 = 0 \\\\ -2\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 - 4\alpha_4 = 0 \\\\ -\alpha_1 - 4\alpha_2 - \alpha_3 + \alpha_4 = 0 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & 1 \\\\ -1 & 1 & -2 & -5 \\\\ -2 & 1 & 1 & -4 \\\\ -1 & -4 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1\\\\\alpha_2\\\\\alpha_3\\\\\alpha_4 \end{pmatrix} = 0 ]

易得

r(A) = 3

，可得

r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4) \le 1

，又

r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4) \ge 1

故

r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4) = 1

10. 是一个方程组构造问题

[ \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3 \\\\ 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha, \beta \end{pmatrix} = 0 ]

且

r(A) = 2

，故

r(\alpha, \beta) \le 2 = 4 - 2 = S - r(A)

填空题

一点处的高阶导数，考虑泰勒展开，需要先解一个微分方程

[ \begin{aligned} f(x) &= \int_0^x e^{-f(t)} dt \Rightarrow f'(x)e^{f(x)} = 1 \Rightarrow e^y\dfrac{dy}{dx} = 1 \Rightarrow e^y = x + C \end{aligned} ]

代入初值后，易得：

f(x) = \ln (x + 1)

，然后泰勒展开：

f(x) = \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{(-1)^{k-1}}{k} x^{k}

找到第

次幂项：

\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}x^n

，求

阶导有：

(-1)^{n-1}(n-1)!

本体难题在于一开始想到用微分方程解出原函数

反函数的二阶导数公式，先推不难
多元函数线性变换后链式求导，属于常规题
二重积分极值互化，变上限积分洛必达求极限
曲率半径公式
常用的伴随矩阵秩的公式：

r(A^*) = \begin{cases} n & r(A) = n \\\\ 1 & r(A) = n - 1 \\\\ 0 & r(A) \le n - 1 \end{cases}

解答题

换元什么手段都用不了，直接想到了二重积分换序，没想到标答也是一样的思路然后凑变上限积分微分即可，不难
无条件极值，用黑塞矩阵判别式即可
第一问求三次导可得，第二问的放缩用的是第一问辅助函数中一阶导进行放缩的
二重积分，对称性化简，分段函数讨论积分域进行拆分，然后极直互化硬算，计算量中等偏上
硬算，第二问可以用质点法
常规题

卷三

选择题

易知

x = 0, x = \dfrac{1}{\ln -b}

为两个间断点，分类讨论即可

a = 0

时，

x = 0

为可去，

x = \dfrac{1}{\ln -b}

时

b = -e

时，为可去间断点

b \ne -e

时，为无穷间断点

a \ne 0

时，

x = 0

为跳跃，

x = \dfrac{1}{\ln -b}

时

b \ne -e

时，为无穷间断点

b = -e

时，为可取间断点

不要去解微分方程，两侧求导代值即可
构造辅助函数，求导易得
巧妙利用反函数反向构造的题

[ \int f^{-1}(x)dx = xf^{-1}(x) - \int xdf^{-1}(x) = xu - \int f(u)du = xu-F(u)-C ]

同解问题，一般线代考的居多，考到了微分方程还是第一次，但是还是很简答求一个带一个，易得
隐函数求导，消参易得
解两个二重积分，纯计算，一个极直互化，一个直接算
由

r(A) = 2

易得：

r(A^{*}) = 1

，又

A^{*}A = |A|E = 0

故

的列向量都是

A^{*}

的解向量，然后选出线性无关的两个即可

反推：

AP = C

，则

\begin{pmatrix}A&C\\\\0&B\end{pmatrix} \begin{pmatrix}E_n&-P\\\\0&E_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&0\\\\0&B\end{pmatrix} \Rightarrow r(A) + r(B)

正推不成立，反例读者自构不难

简单题

填空题

参数方程求二阶导数，直接套公式即可
先用一下"区间再现"消掉分子，分母再用一下辅助角公式就出来了
分别对方程关于

和

求偏导，然后联立方程解

f_1(1,1)

即可

对隐函数求导，解出

和

y''

，然后对

泰勒展开，代入即可

二重积分换序，简单题
简单的恒等变形，简单题

解答题

先解一个二阶常系数非齐次微分方程，然后代入初值消参，在计算一个极限，简单题
答案有点复杂，说说我的做法：欲求

的最大最小值，等价于求

z^2

的最大值，等价于求

1 - x^2 - y^2

的最小值等价于求

x^2 + y^2

的最大值就有目标函数：

x^2 + y^2

和约束条件：

3x^2 + 3y^2 + 2xy - 3 = 0

两者属于齐次式，构造拉格朗日乘子然后

xL_x - yL_y

即可详情见我个人编写的 【专题】多元函数极值专题

\displaystyle\int_0^1 xf'(x)dx = 1

易得：

\displaystyle\int_0^1 f(x)dx = -1

被题目限制掉了很多做法，一开始有想直接万能构造罗尔，但是没给到足够的两个端点信息然后又去试了多项式拟合法，也是构造不了的，本题正确做法应是再往回还原一阶，然后用泰勒展开说一下为什么会这么想，因为题目只给了一侧端点

f(1)=0

，和一个未知点

f(x_0) = -1

在这一阶上，无法凑出罗尔的条件，因此考虑还原成

\displaystyle\int_0^xf(t)dt

就有了两个点的信息分别是：

\displaystyle\int_0^0f(t)dt = 0

和

\displaystyle\int_0^1f(t)dt = -1

，考虑直接泰勒展开展开点选取

x = 1

，原因很简单，有具体

f(1) = 0

的信息有

\displaystyle\int_0^x f(t)dt = -1 + \dfrac{f'(\xi)}{2} (x-1)^2

然后令

x = 0

有：

f'(\xi) = 2

将方程问题和极限连在一起考，很新颖做法和普通方程问题一下，首先分离参数和变量，构造辅助函数求导找单调性最后是求一个

x \to +\infty

的极限

有手就行
答案求行列式去了，猛男，我说一下我的更简单的做法直接配方法即可：

f = \dfrac{1}{2}x_1^2 + \dfrac{1}{2}(x_1-x_2)^2+ \dfrac{1}{2}(x_2-x_3)^2 + \cdots + + \dfrac{1}{2}(x_{n-1}-x_n)^2 + \dfrac{1}{2}x_n^2

易得：

f \ge 0

，欲使

f = 0

，当且仅当

x_1=x_2=\cdots = x_n = 0

故正定第二问就是 分块矩阵的初等变换，没有什么好讲的第三问我的做法也和答案一样，大家直接参考答案就好了

卷四

选择题

变上限积分等价无穷小，有手就行
真题出过一次，在

x=0

处连续是通过左右侧夹逼计算的极限

比较在瑕点的阶，简单题
二阶导数存在，一阶连续，然后保号，简单题
先分离参数，然后求导绘制大致图像，找出最值
求偏导，套黑塞矩阵判别式，化简消元，不难
二重积分，对称性化简，判断被积函数在积分域上正负
分快矩阵求伴随，常规题
注意第一个命题有

c=0

的特例

白给题

填空题

一阶非线性微分方程
区间再现化简，然后求

\int sec^3x dx

凑微分分布积分

隐函数求偏导
这个考到一个常用公式，分子分母同除

构造即可对于周期为

的函数

f(x)

有

[ \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\displaystyle\int_0^x f(t)dt}{x} = \dfrac{1}{T}\int_0^T f(t)dt ]

简单证明：令

a_n = \displaystyle\int_0^{nT} f(t)dt

，

b_n = nT

显然

\lim\limits_{n\to\infty} b_n = +\infty

，且

b_n

单调递增故

\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{b_n} = \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1}-b_n} = \dfrac{\displaystyle\int_{nT}^{nT+T}f(t)dt}{T} = \dfrac{\displaystyle\int_{0}^{T}f(t)dt}{T}

最后由海涅定理可得：

[ \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{\displaystyle\int_0^x f(t)dt}{x} = \dfrac{1}{T}\int_0^T f(t)dt ]

二重积分换序
分块矩阵求行列式，求逆，求伴随

解答题

拉格朗日求极限
第一问是经典高斯曲线，怎么做都行第二问直接分布积分，就出来了
无条件极值，用黑塞矩阵判别式我可以给一个不同的思路，是条件极值的一个技巧 —— 极值互化换成三角函数后，确定好

(r,\theta)

的区间范围，找极值

拉格朗日的几何意义，是一道我在 【专题】中值定理证明题 中举的例题，我比答案写的好多了直接搬运原题过来，读者稍微改改就好了

【2013年】证明：若函数

\varphi(x)

具有二阶导数，且满足

\varphi(2) > \varphi(1)

，

\varphi(2) > \displaystyle\int_2^3\varphi(x) dx

，则至少存在一点

\xi \in (1,3)

，s.t.

\varphi''(\xi) < 0

【分析】首先，根据题干找出所有端点信息，考虑对积分

\displaystyle\int_2^3\varphi(x)dx

用积分中值定理有：

\varphi(x_0) = \displaystyle\int_2^3\varphi(x) dx

，其中

2 < x_0 < 3

，成功找出所有的端点信息：

\varphi(1),\varphi(2),\varphi(x_0)

根据题干的不等关系，初步绘制图像，如下：

在三个端点相邻的区间使用 Lagrange 中值定理，估计出一点的斜率，然后用割线斜率代替，如下：

得到一个一阶导数大于 0 的

\xi_1

和一阶导数小于 0 的

\xi_2

，然后我们绘制

\varphi'(x)

与

的图像：

\xi_1

大于 0，位于

轴上方；

\xi_2

小于 0，位于

轴下方然后我们继续利用 Lagrange 中值定理，估计出了第三个中值

\xi_3

等于该段区间的割线斜率

即答案所要求的点

\varphi''(\xi) < 0

该几何法，成功帮助我们梳理了一遍证明思路，直接根据上述步骤，转化为数学语言写出即可【解】由 积分中值定理 可得：

\exists x_0 \in (2,3)

，s.t.

\varphi(x_0) = \displaystyle\int_2^3 \varphi(x) dx

由 Lagrange 中值定理：

\exists \xi_1\in(1, 2)

，s.t.

\varphi'(\xi_1) = \varphi(2) - \varphi(1) > 0

由 Lagrange 中值定理：

\exists \xi_2\in(2,x_0)

，s.t.

\varphi'(\xi_2) = \varphi(x_0) - \varphi(2) < 0

由 Lagrange 中值定理：

\exists \xi\in(\xi_1, \xi_2)

，s.t.

\varphi''(\xi) = \varphi'(\xi_2) - \varphi'(\xi_1) < 0

QED

二重积分极值互化，计算量很小
白给题

卷五

选择题

常规题：

(

奇函数

= 偶函数，

(

偶函数

= 奇函数

\displaystyle\int_a^x

奇函数

= 偶函数，

\displaystyle\int_0^x

偶函数

= 奇函数

简单题，值得注意的是正负无穷共享同一条斜渐近线，因此不能算作两条
这题解析给的有问题，我说一下做法，条件已知：

f(x) - \displaystyle\int_0^x f(t)dt \le 0

考虑中值定理还原原函数，构造

F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)dt

，有

F'(x)-F(x) \le 0

利用积分因子法还原：

(F(x)e^{-x})' \le 0

故可知函数

G(x) = F(x)e^{-x}

单调递减又

G(0) = F(0) = 0

，故

G(x) \le 0

，即

\displaystyle\int_0^x f(t)dt \le 0

要么题错了，要么答案错了

显然两个积分都找不到原函数，标准做法，按住一个不动，另一个换元分布积分，从而消元
连续定义，导数定义，计算题
等式脱帽法易得：

f(x,y) = x^2 + y^2 + xy^2 + o(x^2 + y^2)

，于是有

[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{f(x,y)}{x^2+y^2}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^2 + y^2 + xy^2 + o(x^2 + y^2)}{x^2+y^2} ]

又

0 \le |\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}| \le |\dfrac{y}{2}|

，易得：

\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{f(x,y)}{x^2+y^2} = 1

故

\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0

从而可以得到：

f(x,y)

可微且

A = B = f(0,0) = 0

二重积分极值互化
简单题，真题出过了，

B = E_{32}(2)E_{12}A

则

|B| = -|A|

，

B^{-1} = A^{-1}E_{12}E_{32}(-2)

故

-B^{*}=A^{*}E_{12}E_{32}(-2)

A^2=0

故只有特征值

，若要

可相似对角化，则

r(A) = 0

，即

A = 0

又

A\ne 0

故不可相似对角化实对称阵的特征值必为实数，故解得：

\lambda = 1

，又

可相似对角化，故

r(A - E) = 0

，解得：

A = E

后两个显然

简单题，不多解释

填空题

定积分定义，两种划分做法都可区间

[0,1]

划分成

块，选择每一块的中点划分：

\dfrac{2k-1}{2n}

[ \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{1 + (\dfrac{2k-1}{2n})^2}} =\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx = \ln(1 + \sqrt{2}) ]

区间

[0,2]

划分成

块，选择每一块的中点划分：

\dfrac{2k-1}{n}

[ \lim_{n\to\infty}\dfrac{1\times2}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{4 + (\dfrac{2k-1}{n})^2}} =\displaystyle\int_0^2\dfrac{1}{\sqrt{4+x^2}}dx = \ln(1 + \sqrt{2}) ]

二阶常系数非齐次微分方程，分段解，然后利用连续性消参，代入条件，最后解出答案
给定初值，一般就是要积分，把

视作常数，先看微分方程：

f'(x) + f(x) = 0

解得：

f(x,y)\cdot e^{x} = \varphi(y)

代入初值：

f(0,\dfrac{\pi}{2}) = 1 = \varphi(\dfrac{\pi}{2})

再求y的偏导：

f'(y)=\varphi'(y)e^{-x} = \cot y \cdot \varphi(y)e^{-x}

化简微分方程得：

\varphi'(y) - \cot y \varphi(y) = 0

，解得：

\varphi(y) = C\sin y

代入初值：

\varphi(\dfrac{\pi}{2}) = C = 1

，故

\varphi(y) = \sin y

因此：

f(x,y) = e^{-x}\sin y

，

f_{xx} = f(x,y), f_{yy} = -f(x,y)

故：

f_{xx} + f_{yy} = 0

dS = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{(\dfrac{dx}{dt})^2 + \dfrac{dy}{dt})^2} dt

二重积分换序，然后变上限积分求导
又平方和易知

为半正定矩阵，因此各个平方项为0存在非零解

解答题

分离参数，构造辅助函数，求导绘制函数图像，简单题
真题考过一次类似的，不过比这个简单本题难点是对

y' = \tan \alpha

变型：

[ \begin{aligned} y' &= \sqrt{\sec^2\alpha - 1} \\\\ y'^2 + 1 &= \sec^2\alpha \\\\ y'^2 + 1 &= \dfrac{1}{\cos^2 \alpha} \\\\ \sqrt{y'^2 + 1} &= \dfrac{1}{\cos \alpha} \end{aligned} ]

然后回代到微分方程中计算：

2y^2y'' = (1 + y'^2)^2

即可

单纯的算，没什么好说的
二重积分，根据取整函数分段，然后本题答案是错的，正确答案应为：

\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{3}

数列极限，下界

用第一数学归纳法易证单调性用

x_{n+1}-x_n = \sqrt{x_n}\ln x_n + 1 - x_n

构造辅助函数

F(x) = x\ln x + 1 - x

求两次导即可出答案

A^TA

的问题，一般不用去求出

A^TA

的具体型，不然就是题目出的稀烂利用

Ax = 0

与

A^TAx = 0

同解，做第一问利用

x^TA^TAx = (Ax)^T(Ax) = ||Ax||^2 \ge 0

做第二问第三问常规题

李林冲刺六套卷

卷一

选择题

已知极限反求参数，方法很多，标答给的是除

x^3

解极限我这里直接把后面一项在加号处拆开，然后用等比级数泰勒展开做的

考了一个数列常用极限 $ e^{nx} =

[\begin{cases} \infty &,x > 0 \\\\ 1 ,& x = 0 \\\\ 0, &x < 0 \end{cases}]

A、B考拉格朗日构造函数，在

[0,x]

和

[x,1]

上分别拉一下然后利用凹凸性找单调性，建立不等式 C、D 利用

f(0)=f(1)

移项，然后利用单调性建立不等式

考微分方程解的结构，ez难度
考可微定义：存在

A,B, s.t. f(x,y) - Ax - By - f(0,0) = o(\sqrt{x^2+y^2})

秒选的题

考反常积分敛散性，A、B直接比较在瑕点的阶，秒杀 C、D利用奇偶性
之前真题遇到过，上次不会，这次会了，直接泰勒展开，然后两侧取积分结束
这算是比较新的一道题了答案用的是

f(0) = |-A|-|A^{-1}| = -2

和

f(1) = |1-A| - |A^{-1}| = -1

然后拉一下：

f'(\xi) = 1

找到切线与

y=x

平行的点我的方法是直接写出 特征多项式，由于

是三重根，故

|xE-A| = (x-1)^3

则

f(x) = (x-1)^3-1 \Rightarrow f'(x) = 3(x-1)^2 \Rightarrow f'(0) = 3, f'(1) = 0

由 导数介值定理（达布定理） 可知

f'(\xi) = 1

~~我觉得我的方法比答案好~~

提公因式，屑题
更屑，口算题，甚至可以把算也给去掉

填空题

反函数的导数问题，然后求极限，拉一下
幂指函数求极限，取指对数
隐函数求全微分，三种方法
凑定积分定义，然后算4个定积分，答案用了奇偶性干掉了两个
考了一个跨阶凑导数定义，也可以直接泰勒展开（本质一样）
屑题，惯性定理

错了第14题，连求4个定积分最后加起来的时候正负号没搞好，寄了

解答题

屑题，答案写的很麻烦，上来可以直接被积函数等价无穷小，把

\sin x

干掉然后正常换元去积分符号就好了

二重积分极转直，然后疯狂的凑微分就结束了
裸题，没意思，第一问的提示不给，只给第二问也是裸题
出的真屑啊，考多元函数极值，前面还铺垫这么多模拟题意的过程？？模拟到最后，是两个分式相加，各有3次的系数，会出题？？？算高中圆锥曲线呢？我做到这就不想写了，太屑了最后是解一个拉格朗日乘子，可以用我在专题 多元函数极值 中写到的很多方法二次型、齐次式、对称式，反正极值这部分考的很简单前面铺垫的那么恶心的模拟题意是真不会出题是吧
二阶变系数微分方程，少 x 的第二型，令

p = y'

第二问，求旋转体体积，二重积分莽上去就完事了

屑题，常识告诉我们

与

A^*

共享相同特征值下的特征向量因此直接把

正交对角化，求出的正交变化

也能是

A^*

对角化答案贼烦琐，相当于证了一遍我一开始说的那个常识，真没必要。。。

总分 138 填空题 No.14 计算错误 + 解答题 No.20 被出题人恶心 ~~（不会出题可以不出）~~

卷二

选择题

可以换元，也可以直接利用被积函数等价无穷小秒杀
求间断点，比第一套还简单
边上限积分天生具有连续性，验证可导性，只需验证被积函数在该点是否连续即可
泰勒展开，拉格朗日，求渐近线，简单难度
套娃，之前考

f(x)

左高右低，现在考

f'(x)

正负性，多加一阶导数研究，本质没区别还是一点不能推邻域，但是少一阶邻域的信息是有的，属于数学常识

先解微分方程，再求反常积分，计算题
极坐标

r,\theta

换序

秩的不等式：

A_{m\times n}B_{n\times s} = 0 \Rightarrow r(A) + r(B) \le n

A^* A=|A|E=0

，则

的列向量都是

A^*

的解向量

合同变换，然后惯性定理（室友行列式相等秒杀了，y1s1 选项出的不好）

填空题

分母是指数，猜对了是

（室友用的积分中值定理，答案用的放缩，答案方法推荐）

隐函数求导，简单难度
弧微分
弧微分，连考两题还行
没做出来，室友直接换序做出来了对于

\iint \sqrt{x^2-y^2}d\sigma

的二重积分，先

后

会简单

答案用的伴随与逆的等式，我的方法更好，直接用按列展开定理，把最后一列替换成

构造新的行列式然后原行列式，每一列全部加到最后一列，提出

结束

第一题猜对了第五题没搞出来，试过转极坐标，没成功就没多想，因为觉得

对称性较强，换序作用不大实际上换序作用很大，一个积出来是

\cos x

，一个是

\ln|\sin x + \sec x|

解答题

很简单，先求导，再

换

-x

，联立就求出来了虽然但是，步骤都对，但是还是求错了，寄

多元函数极值，目标函数是一个三次型，不过

L_x + L_y

该消的都消光了，别忘记讨论端点值

弧微分建立微分方程，最后算得的方程是

y+\sqrt{y^2-k^2} = g(x)

，这个方程是可以求出

的以前真题考过，那次不会，这次搞出来了

二重积分，划分积分区域分别积，一个极直互化，一个直接计算直接算的那个，差点莽上去了，室友莽上去了，居然还算出来了，牛。。。实际用轮换对称性就消光了
方成列问题，14年考过，问的方法都一摸一样，第一问零点定理 + 单调性第二问方程两侧取极限，找到

\sin x

的极限，然后幂指函数取指对数，再连续成函数极限求出极限后，用海涅准则还原成数列极限

Q^{-1} A Q = \Lambda \quad\Rightarrow\quad Q^T A^T(Q^T)^{-1} = \Lambda^T = \Lambda \quad\Rightarrow\quad Q^{-1} A Q = Q^T A^T(Q^T)^{-1}

\Rightarrow (Q^T)^{-1}Q^{-1} A Q Q^T = A^T

只需算一次矩阵乘法（超简单），按照答案的方法，先求

A^T

的特征值，在分别求了三个特征向量然后构造

C^{-1}AC = Q^{-1}A^TQ \Rightarrow QC^{-1} A CQ^{-1} = A^T

然后算一个逆矩阵

Q^{-1}

，和一次矩阵乘法

CQ^{-1}

，属实不配作为标答

第一题算错了，直接寄
总分 136 填空题 NO.15 没做出来，换序积会更方便（再次证明了二重积分只考对称性、极直互化、换序）解答题 No.17 算错了，10分全部扣光，直接寄

卷三

选择题

利用连续 + 可导建立两个方程，求出两个未知数
偏导数连续，利用

z_{xy} = z_{yx}

建立方程求出参数

构造辅助函数

F(x) = \frac{f(x)}{x}

，求导找单调性

我在 【专题】中值定理 中介绍过这种题的做法，罗尔秒杀
反常积分敛散性问题，找被积函数在瑕点的阶
积分比大小，换元到同一上下限后，比较被积函数大小即可，记得都是一个系数带上一个

f(x)

，比较系数即可

先用三角和差公式把被积函数中的三角函数分离:

\sin(x-t) = \sin x\cos t - \cos x \sin t

接着就是考函数奇偶性与原函数奇偶性之间的关系这里给的是下限为0的边上限积分

\int_0^xf(x)dx

，故若

f(x)

偶，则

F(x)

奇

考初等矩阵，简单难度
考对称矩阵不同特征值之间的特征向量正交，构造方程解即可
答案用的特值法，我是直接看出来的，因为原来无关，延长后必定无关；原来相关，延长后不一定相关利用这个准则，把

列分块或者行分块都可，然后就很显然了

填空题

定积分定义
物理应用，考的水压力

F = P S = \rho g h S

，终于做对一次物理应用了，泪目

考极限的局部保号性
考隐函数求偏导，计算题
二重积分，换序，算错了，寄
直接令特值

A = E

就做出来了；证明方法是：

|E - A^2| = |A^TA - A^2| = |A|^2|A^T \cdot A^T - E| = |A^2 - E|

于是有：

|E - A^2| = (-1)^{2n+1}|E - A^2|

，则

|E - A^2| = 0

考试的时候，两个方法都写了一遍，因为特值出的太突然了，感觉题目没这么简单，事实证明，出得真不行

解答题

洛必达去积分符号，幂指函数取指对数，等价无穷小，简单题
分类讨论来去积分符号，求导找单调性，最后极小值算错了，寄
定积分几何应用，求面积这里可以直接用 形心坐标公式逆用 秒出，第二问旋转体体积，用 割补法
超级简单的条件极值，根据我写的 【专题】多元函数极值，这一题可以用的方法可太多了我是用的 二次型 来做，求一个

2 \times 2

的矩阵特征值就和小学加减乘除一样快速然后第二问也是直接秒出的这题应该还可以用：对称式，三角换元，齐次式来做不等式放缩应该不行，因为只能向一个方向上放缩，但是这题最大最小值都要求（可能也可以反向放？没细想过）

这题寄了，以为是心形线，实际上只是一个凸面，算第二问也可以用 形心坐标公式逆用 解出

\iint yd\sigma

思路是简单题，

B^2 = A = Q\Lambda Q^T = (Q C Q^T)(Q C Q^T)

，推出

B = QCQ^T

这个可以证明唯一性，证明可以不用会，知道这么一个做法即可

总分 134 填空题 NO.15 计算错误解答题 NO.18 最后一步计算错误解答题 NO.21 图形都看错了，直接寄坏起来了，现在大题稳定要寄一道

卷四

选择题

和上一套一模一样，连续和导数定义建立两个方程两个求解两个未知数
本质应该是考导数定义，结合极限保号性，不过这个就是证明过导数介值定理个过程，可以直接秒出答案
利用定积分可拆性，去掉绝对值，然后求导判单调性，找极值点，这题计算错误了
物理应用，又做对了，好起来了，是一个变化率问题:

\frac{\mathbf{d}V}{\mathbf{d}t} = \frac{\mathbf{d}V}{\mathbf{d}h} \cdot \frac{\mathbf{d}h}{\mathbf{d}t}

先求二重积分，再代入求极限即可答案用的 二重积分的中值定理 先证明在积分区域上连续，然后就可以直接用了

\iint f(x,y) d\sigma = \frac{1}{S_D}\iint f(\xi, \eta)d\sigma

多元函数极限证明连续，分子次数大于分母，应该存在，所以直接放缩分母即可偏导数显然连续，可微直接写出可微定义式，然后再求一个多元函数极限
积分域关于

y=-x

对称，被积函数具有轮换对称性：

f(x,y) = -f(-y, -x)

，故二重积分值为

答案是拆开来看的，也行，就是有点麻烦

PA = B

行分块结束

这题眼瞎了，看到惯性指数为

，看到标准形，直接选了

，然而求的是

A^*

的标准形利用那个表转换特征值就行了

送分题，超过

分钟都慢了

错了两道选择题，一个是计算错误，一个是题目看错明明打了那么久比赛，最大的收获就是要认真读题和注意数据范围，回到应试考试又变回来了。。

填空题

先算不定积分，再代入求一个极限
弧微分，还是没有把极坐标下的公式背出来，又现场推了一遍
模拟题，最后求一个极限
微分方程，这题我出大问题了，直接就求导了，被积函数里还有未知数

，要先换元感觉这种问题，在积分里参数变多的时候就会忽视，需要注意

看到平方和还有不转极坐标的人嘛
和选择题第 9 题考的是一个东西

NO.14 出大问题了，以后变上限积分函数求导去积分符号的时候一定要先检查被积函数

解答题

第一题的数列极限一般就是送，单调有界准则秒杀，第二问先连续化，再海涅定理还原
多元函数求偏导，看计算能力的题
第一问直接用我在 【专题】中值定理证明题 中提到的 万能构造法 求一个不定积分，原函数就出来了求导判别单调性，证明"至多"，再结合"至少"，夹逼即可
二阶变系数微分方程，真题考过，先用换元化简成二阶常系数微分方程，然后经典：齐通 + 非奇特 = 非奇通这题求出来后还要换回去，我考试的时候没读懂什么叫 原微分方程通解，看了答案才知道原来是把换元还原回去第二问，代入初值解出参数，没什么好说的
二重积分，积分域是大圆套小圆，用割补法，然后极直互化，处理小圆直接平移极坐标原点
送分题，正常肯定不会这么考啊，这题就是算两个矩阵乘法，谁线代大题这么出的。。

这次大题没寄，只是 NO.20 换元最后没有换回来（主要是没读懂要换回来）
总分 132 小题错的有点多，再次暴露了计算能力不行的痛病选择题 NO.3 求导求错了，NO.9 题目读假了填空题 NO.14 在被积函数有

时没换元直接求了解答题 NO.20 没读懂题意，换元最后没换回来

卷五

应该是前五套里，最难的一套了，感觉很符合今年的命题风格，也预示了我要寄的必然结果

选择题

变上限积分求极限
这题做的时候没有想到正解，用的几个已知结论反向构造的如果

x\to+\infty

时，

f'(x) = A \ne 0

，易证

f(x) = \infty

故

f'(x) = 0

，直接移项出结果答案是先算了微分方程通解，用变上限积分替代任意常数，然后求一个变上限积分的极限

极直互化和换序
导数定义 + 微分方程
拐点的充分条件第三条
物理应用，变化率问题
答案用的拉格朗日做的，也可以直接解出定积分，还不丢失精度
方程解问题
相似的基本概念，以及可逆矩阵等价于单位矩阵
直接用合同变换做更快

全对，第二题可以回顾一下

填空题

隐函数求偏导
高阶导数问题，答案先求了原函数，再用级数找的高阶导数，我直接求了三阶找的规律回过头看这题长的确实像微分方程，应该先求原函数的
隐函数和极限结合，导数定义
二重积分，换序后换元
可微定义，

f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f_x\Delta x - f_y \Delta y - f(x_0,y_0) = o(d)

注意到，是

-f_y\Delta y

，前面有一个负号，我大意了

短路了，没做出来，向量组的问题，利用现有等式，构造具体方程求解行列式

[ AP = (A\alpha,A^2\alpha,A^3\alpha) = (A\alpha,A^2\alpha,3A\alpha - 2A^2\alpha)=(\alpha, A\alpha,A^2\alpha) \cdot \begin{pmatrix} 0&0&0\\\\ 1&0&3\\\\ 0&1&-2 \end{pmatrix} = PB ]

[ |A - E| = |P^{-1}||A-E||P| = |P^{-1}AP - E| = |B - E| ]

解答题

求极限，导数定义，定积分
物理应用，质点法yyds，再也没错过了
没有任何性质的多项式，直接写答案，扣个答案分差不多了（可以考虑

L_x

、

L_y

先削掉

\mu

）

第一问分部积分，第二问出的贼呀，双中值一般都是拆区间拉格朗日，这题不是先积分中值，再拉格朗日，利用的是第一问中证明的等式
二重积分加微分方程，出得妙啊左侧凑微分，给他搞出来，右侧轮换对称性干掉一个，另一个换元
数学系的孩子们，直接掏出矩阵合同变换法秒了吧，非数学系的就配方法吧第二问没读懂，答案也看不懂，但可以确定的事，第一问合同变换搞出来的

也满足第二问的等式直接令

P = C

就结束了答案的意思估计是如果第一问求出来的

，使得

D=C^{-1}AC

不是对角矩阵，则可以考虑把

通过正交变化化成

\Lambda

，而对于新的可逆变换

P = CQ

，有

(QC)^{-1}BQC = C^{-1}Q^{-1}BQC = C^{-1}EC = E

那你下次能不能好好出题

这套大题有点难度的，板子题不多，都有一定的思维量条件极值没去算，中值定理第二问想了巨久，主要是潜意识里一直觉得是拆区间两次拉格朗日下次还是优先考虑通过给定等式往回推导的方法二重积分这个是真想不到，处理

\iint f(x+y)d\sigma

，换序肯定是没用的，因为有轮换对称性正确做法居然是换元，令

x+y=u

，几何上来看，由于边界是

x+y=t

，这样的换元效果会让其中一个积分的上下限编成定值

总分 125 犯病的地方有，但分低的主要原因是几个大题没有思路线代还是出的稀烂，但是这套有几题是真不错，说的就是 16、20、21

卷六

选择题

极限 + 导数定义，两个方程两个参数
极值的充分条件，可以求高阶导数，也可以用邻域直接在二阶导的时候写出答案
先求导找出

f(x)

的表达式，代入

x=0

即为斜率，就结束了

移项：

a = \frac{x^2}{e^x}

求导找曲线单调性，画出大值图像，找三个交点的区间

数形结合快，利用凹函数的性质，切线在曲线下方答案用的泰勒展开做的，利用二阶导数大于零，进行放缩
反常积分，利用收敛以及瑕点处的阶数，写出一个参数的值，然后求一个不定积分
这题卡了好一会儿，主要是算是算出来了，被选项搞了这是一道经典模型，之前都是考的积分等式：

f(x)=g(x)+\int_a^b f(x)dx

其中，

f(x)

为抽象函数，题目不给出，

g(x)

为具体函数，题目会直接给出由于定积分是一个具体的数字，直接令

A = \int_a^b f(x)dx

，在等式两侧取积分：

A = \int_a^b g(x)dx + A(b - a)

就可以反解出

了然后这题就变成二重积分了：

f(x) = xy + \iint f(x)dx

用轮换对称性：

A = 0

，求出来后，我就蒙蔽了，因为选项都是一个倍数关系卡了一会儿，最后发现 C选项偷偷藏了一个

积分域上的函数，挺能藏

实对称不能保证，正定能保证，反例答案给了
特征值多项式的转换

r(A) \le 3 < 4

一定有无穷多解

错了第一、第二题，脑子短路了，是这样的

填空题

幂指函数求极限
隐函数求导
微分方程，一阶非齐次型，再加上旋转体体积，求出一个二次函数，找顶点问题犯病了，解微分方程的时候用的变量可分离方法，然后齐次换元，最后忘记换回来了
旋转体体积
二重积分换序
口算题

第三题犯病了

解答题

不等式问题，多项乘积，考虑取对数，求两下导就出来了
二阶常系数非齐次微分方程，这里利用初值求参数的时候算错了一个然后定积分的部分很简单，显然左边分部积分一下就变成右边了
二重积分，注意一下

\theta

范围是

[0, \frac{\pi}{2}]

[\pi, \frac{3}{2}\pi]

数列极限，单调有界准则，这里答案证了一下有界性，我没证题目里说了

f(x)

是定义在

[0,1]

上的函数，等式又是建立在该函数上的那么显然有界，否则等式不成立证明有界性也很不难，答案用的中值定理，我惊了已知结论和递推关系，肯定先想到第一第二数学归纳法呀利用 {

x_n

} 有界，不难证明 {

x_{n+1}

} 有界（连续函数有界性）

第一问高考难度；第二问一看就是定积分定义，都帮你凑好了，找一下可爱因子就好了放缩到

g(x)

的两端，先削变量

，右侧显然，左侧做的时候没想到好的方法看了答案发现自己确实短路了

\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{n} \cdot e^{\frac{k}{n}} \cdot \frac{1}{n+2} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{n+2} \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n \frac{k}{n} \cdot e^{\frac{k}{n}} = 1 \cdot \displaystyle\int_0^1xe^{x}dx

送分题

大题做的不好，做的时候也挺抗拒那些计算的，~~写一半去看了会儿王师傅和小毛毛~~ 第一问去了对数，求了导，但是不想算下去了，整理式子好累。。第二问参数求错了，答案最后就差一个系数第五问放缩定积分定义都想到了，左边那个当时没想出来怎么处理
总分 123 题目很简单，感觉是最近学的有点累了，很多计算式子一出来，方法都懂，但是不想下笔写完六套卷休息一天，接下来写张八高分版

李林冲刺四套卷

卷一

粗略点评一下，填选很多都在共创第一套里见过了，整体难度中等命题风格比较符合今年的架势，很推荐刷一下线代部分还是有点白给

选择题

泰勒展开做个多项式乘法，找等价关系
大致绘制一下函数图像，就知道在

\pm1

不平滑，不用去讨论，肯定不可导分段求导即可选出

共创第一套的原题，李六一道原题的升级版因为只有二阶导数大于0的信息，故单调性判别的时候考虑去凑

f'-f'

的形式，从而利用上

f''>0

这里就用到了拉格朗日：

xf'(x) - f(x) = xf'(x)-f(x)-f(0) = xf'(x)-xf'(\xi)

利用瑕点的阶写出

a = 1

，然后求一个定积分即可

等比级数展开，答案写的好复杂
可微定义，多元函数求偏导
商的求导公式还原，再用对数函数还原答案用的少 x 的第二型降阶做的
秩一矩阵特征值的结论：

\mathbf{tr}(A)

(1重)，

(n-1重) 证明是可逆变换，然后列分块线性表出

合同定义
这里要揣测出题人的意思，是让你证明矩阵是否是对称阵，然后就很简单了

填空题

弧微分
参数方程求导
物理应用，根式换元求定积分
二重积分换序
隐函数求偏导数
很简单的一道题，但是要小心，求的矩阵是 6 阶的，他是拼起来的

解答题

幂指函数求极限
第二问按照题目意思模拟，最后会把参数 a 消掉，就很简单了
和李三最后一套里的微分方程差不多，齐次型化简
全微分求偏积分还原原函数，然后计算一个二重积分这里要先用三角恒等变形化简，否则会很痛苦
和20年数一的证明题类似，第一问直接用拉格朗日分段估计第二问凑微分分布积分还原，最后套绝对值放缩，很简单
屑题

卷二

选择题

常规题，等比级数展开
答案用的导数定义，也可以直接泰勒展开，变成幂函数来求导，会更快
常用极限结论：

e^{nx} = \begin{cases}+\infty & x>0 \\\\1 & x=0 \\\\0 & x<0\end{cases}

本题就是 导数零点定理 证明过程中的一小步几何上画出那个图就懂了；书写上用极限保号性配合左低右高
题干给的是：

f'(x) - f(x) > 0

，考虑积分因子法还原：

[e^{-x}f(x)]' > 0

然后构造辅助函数：

F(x) = e^{-x}f(x)

，利用单调性有：

e^{-x}f(x) > e^0f(0)

即：

f(x) > e^x

，再两侧积分有：

\displaystyle\int_0^1 f(x)dx < e - 1

多元函数求偏积分，再代值求偏导数这里我犯病了，

\displaystyle\int \dfrac{1}{x}dx = \ln |x| + C

这里是有一个绝对值的，最近不定积分见少了

简单题
李六第一套里出过类似的，这题再额外多了一步的屑题罢了

(A + 2 E)(A - E) \alpha = 0

有非零解

\alpha \ne 0

，故

|A+2E| \cdot |A - E| = 0

若

|A+2E|\ne 0

，则

A\alpha = \alpha

，得出

\alpha

是

特征值为 1 的特征向量，与题意不符若

|A-E|\ne 0

，则

A\alpha = -2\alpha

，得出

\alpha

是

特征值为 -2 的特征向量，与题意不符故

同时有特征值：

2,1

，于是有：

f(2)=f(1) = 0

，用 Rolle 定理易得：

f'(\xi) = 0

这题 1，2 考的是同解问题，需要构造拼秩，但是 3 的错误很明显，所以还是屑题（A）：

A^T\alpha = 0, \beta^T\alpha = 0

，易得：

\alpha

是

A^Tx=0

和

\begin{pmatrix}A^T \\\\ \beta^T\end{pmatrix}x = 0

有同解：

\alpha

故

r(A) = r(A^T) = r\begin{pmatrix}A^T \\\\ \beta^T\end{pmatrix} = r(A,\beta)

，得出结论：

Ax=\beta

有解（B）：反证法，设出解

，回代易得

\alpha^T Ax = 1

，又

\alpha^TA=0

矛盾，易知无解

屑题，二次型入门题，分别乘

\alpha, \beta, \gamma

（

\gamma

是与

\alpha,\beta

两两正交的正交向量）易得特征值为：

1, 2, 0

再又惯性定理写出答案即可（答案用的秩的不等式，大可不必）

填空题

考点和第三题一模一样
参数方程求导，套公式最快：

\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = \dfrac{y''x' - x''y'}{x'^3}

易得：

x=e

取最小值，考虑没有计算器的时候如何比较：

2^{\frac{1}{2}}

和

3^{\frac{1}{3}}

比较他们的六次方即可：

\dfrac{1}{8} > \dfrac{1}{9}

背景是几何应用，实际考的是二重积分换序
给的形式看上去是考变量可分离型，实际考的是一阶线性微分方程，用积分因子还原即可 > 自从学会积分因子法后，很少去套公式了，做起题来也快了（~~公式法狗都不用~~） > 什么是积分因子法：2022考研数学高等数学部分—微分方程的优化解法
屑题

解答题

幂指函数求极限，分类讨论 "

0^0

"型和 "

\infty ^0

" 型一开始也可不讨论，用 洛必达的推广型 做，在最后一步分类讨论即可

抽象函数等式，考虑构造任意点的增量型导数定义建立微分方程 由

f(x)f(y) = f(x+y)

构造：

f(x+\Delta x) = f(x) \cdot f(\Delta x)

，由增量型导数定义：

[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x)[f(\Delta x) - 1]}{\Delta x} = f(x)f'(0) ]

化简易得：

f'(x) + f(x) = 0

，由积分因子法易得：

f(x) = e^{-x}

第二问比较简单，注意极值点可能是驻点或导数不存在的点

比较裸的题，怕你拉格朗日乘子解不出来，还直接把解给你了，让你反求参数，泪目先构造，然后代入

x,y

的值，反解

a,b

计算量很小

积分域没有任何的对称性化简，转极坐标也比较复杂，我直接在直角坐标下分段积了，计算量中等吧答案是极值互化后

\theta ,r

换序了，答案的方法更好

利用弧微分计算曲线长度建立微分方程，是二阶微分方程的少

第二型换元降阶，然后瞎搞搞就出来了，计算量不大

屑题，太裸了

卷三

选择题

分离参数，求导绘制大致函数图像，然后找交点个数
结论题：连续函数 开区间 内如果存在 唯一极值点，那该 极值点 就是 最值点
分段用拉格朗日中值定理放缩
二重积分，极值互化
隐函数方程求偏导数
二阶微分方程少 y 第二型降阶
极值互化后

r,\theta

换序

用相似转换研究对象
方程组有解问题，

r(A) = m < n

r(A,b_m) = m < n

有无穷解

r(A^T) \le r(A^T,b_n) \le n

可能无解

数专最快速的方法是 合同变换法 ，非数专 配方法 即可

填空题

参数方程求导
考曲率半径的公式，构造好方程后求导找单调性和极值点即可
不定积分，根式换元
二重积分换序，然后变上限积分求导
19年考过一次大题，22年的张四也拙劣的模仿过，求和积分统一化做（通法）答案用的是区间再现去的绝对值，不过如果是真题的形式：

e^{x}\sin x

区间再现就用不了了

研究特征值的问题，简单题

解答题

被积函数中把求导参数换元，再洛必达即可
先用对称性干掉分母，再极值互化
积分不等式中最简单的一类：变上限积分法，把所有的 a 换元成 x 构造辅助函数，确定初值后求导
二阶偏导数连续，构建微分方程，换元后是一阶线性，用积分因子法还原
放缩定积分定义
第一问就是构造，凑一凑就出来了；第二问裸题

卷四

选择题

常规题，泰勒展开，合并项
由题易得：

x\to +\infty

时，有

f(x) = -x - 1 + o(1)

，直接选出即可

利用二阶偏导数连续，

u_{xy} = u_{yx}

建立恒等式，反求参数

1和3用一下区间再现和2比较，做差放缩都没用到，比较简单的积分比大小题
根据定积分换元定积分定义
易得

k^{-\frac{1}{2}}

是极小值点，故最大值在两端取到

先易得特征根为

\lambda = -a \pm \sqrt{a^2-b^2}

，然后写出通解：

\overline{y} = C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2 x}

欲求

\displaystyle\int_0^{+\infty} y(x) dx

存在，又已知

\lim\limits_{x\to+\infty}y(x) = \lim\limits_{x\to+\infty}y'(x) = 0, y(0) = y'(0)=1

，不妨考虑用微分方程反解

[ \begin{aligned} \int_0^{+\infty} y(x)dx &= -\dfrac{1}{b^2}\int_0^{+\infty} [y''(x) + 2ay'(x)] dx \\\\ &= -\dfrac{1}{b^2} \int_0^{+\infty}d[y'(x) + 2ay(x)] \\\\ &= \dfrac{1}{b^2} (1+ 2a) \\\\ \end{aligned} ]

拼起来初等行变换，简单题
行向量组等价，说明可经过有限次初等行变换互化：

PA=B

于是有

Ax = 0 \Rightarrow PAx=0

同理可证得

Bx = 0 \Rightarrow P^{-1}Bx = 0

特征值出来，行列式的值就出来了，然后代还伴随矩阵即可

填空题

隐函数求导，简单题
求导反解参数，俗称模拟题
取对数然后凑定积分定义，简单题
这里要注意

的范围，不能只计算

[0,\pi]

的区间（指我自己）具体做法和卷三15题基本一致（我指的是我的通法，不是标答给的方法）

二重积分极值互化
按行展开定理反向构造行列式

解答题

卷二的第18题原题，利用导数定义建立微分方程
常规题里穿插了二重积分的计算，还是常规题
偶数年考过一次一模一样的，做法完全一样
高阶导数的两种方法：
1. 求导找规律
2. 莱布尼茨公式
这题找一下规律就出来了，显然第二问答案复杂了，利用上

f^{(n)} > 0

除了

f^{(n-1)}

的单调性，还可以对

f^{(n-1)}

再求一次导，显然

第一问易得，说一下第二问
1. 标答的思路：单调有界准则显然，递推函数
f(x) = \dfrac{1}{4}(x + f(x))
是单调递增的，有已知结论可知
f(x_{n + 1}) - f(x_n)
与
f(2) - f(1)
一致然后配合单调性，用单调有界准则
1. 我的思路：压缩映像原理将第一问的
\xi
代入方程易得：
F(\xi) = \dfrac{1}{4}[\xi + f(\xi)] = \xi
考试的时候我直接用第一型压缩了。这题也可用第二型，压缩因子放缩易得，如下：
[ F'(x) = \dfrac{1}{4}(1 + f'(x)) < k = \dfrac{1}{2} < 1 ]
第二型的证明方法如下：
[ \begin{aligned} |x_{n+1} - \xi| = |F(x) - F(\xi)| = |F'(\xi_n)| \cdot |x_n - \xi| &\le \dfrac{1}{2} \cdot |x_n - \xi| \\\\ &\le \cdots \\\\ &\le \dfrac{1}{2^n} |x_1 - \xi| \end{aligned} ]
故
\lim\limits_{n\to\infty} x_n = \xi
常规屑题，李林四套卷的线代出的真的屑

李艳芳三套卷

卷一

选择题

数列极限，转函数极限，分母用拉格朗日中值定理，我的做法和答案基本一致，就不多做阐述了
考的概念题，比较基础
利用奇偶性来做的，

\displaystyle\int_a^x

奇函数

= 偶函数，然后分布积分一下，找答案即可

参数方程的旋转体体积问题，想防止柱壳法写错，可以直接用二重积分法
先找齐次的解的形式，然后对照写出非齐次特解，比较常规
考的二元极限，

f_1

用平方差拆开化简，

f_2

由于分子比分母次数低，肯定不连续

凯哥选填班有类似题目，如果

a > \frac{1}{2}

，则是极小值点，用等式脱帽法做即可

用相似理论来做，首先

是秩一矩阵，可以直接写出特征值：

0,0,0

于是

(E+A)^n

的特征值为：

1,1,1

，故

(E+A)^n

的 trace 为

，deg 为

标答用的秩一矩阵求高次矩阵，然后二项展开答案做的，也是一个不错的思路

由于

A,B

正定，故

(A^{-1}B)^T(A^{-1}B) = B^{-1}AA^{-1}B = E

可知：

A^{-1}B

也正定又

(A^{-1}B)^T = B^{-1}A

故两矩阵对称，因此有相同的特征值（读者自证不难，行列式取转置）又

B(A^{-1}B)B^{-1} = BA^{-1}

，故

A^{-1}B \sim BA^{-1}

推出 2 错误又

Ax=Bx

有非零解

\alpha

，故

B^{-1}A\alpha = 0

，且

A^{-1}B\alpha = 0

，存在公共特征向量这题就是按照题目的意思去构造即可

找特征值的题，把系数

\dfrac{1}{3}

一开始就提出，会变得简单一点

填空题

非常新的一道题，给定一个曲线方程：

x^3+y^3=y^2

，求斜渐近线求渐近线，则渐近线一定存在，故不妨令

\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{y}{x} = k

来反求这题出的也太牛了

参数方程问题，式子整理需要用到一定量的三角恒等变形
不定积分，三角换元，凑微分
全微分解最快，偏导数也可
物理应用
水题，水的有点过分

解答题

多元函数极值，没什么好手段，但是显然

L_y

很好解，从他入手讨论消参

余丙森考过类似的二元题，真题考的是一元，方法一样，两侧取积分做解一个二重积分，对称性化简，极值互化
数列极限，比较简单，有界性用第一数学归纳法即可，单调性利用有界性做商证明我的方法与答案一样，不多阐述
李林、余丙森和真题考过第一问，链式求导化简微分方程第二问比较新，其实就是求一个高阶导数任意点的高阶导数，方法就两个：找规律和莱布尼茨公式法这题显然找不到规律，求一阶导后，凑出幂函数，然后用莱布尼茨公式即可
这题也太新了，真题应该不会这么考，万万没想到考的是中值定理第二问比较简单，值得注意的是答案是错误的，已知极限反求参数不能用洛必达法则正确做法是，先换序，然后求导，然后被积函数等价无穷小，然后积分，然后代初值消 C
考了数量积的运算：

\alpha^T\beta = \beta^T\alpha

其他都比较常规

卷二

选择题

两个无定义点，讨论一下就好了，简单题

f(x) = x^x

的函数图像知道的话，秒杀难度

I_1

和

I_2

直接看出来，然后和

I_3

做个差即可（被积函数）

被积函数在一个周期上的积分值为 0，则变上限积分也为周期函数，按照这个性质推出 1 2 然后对3 4 用周期函数定义即可
区间再现，然后加起来，化简
条件极值，比较简单，就 3 个方程，随便搞一下就出来了，然后随便取一个点比较一下，判断是最大还是最小答案用的无条件极值做的，利用约束条件，消掉了一个参数，然后就是二元函数问题了
积分比大小，但是不同于第3题，这里要整体做差，然后判断正负号（因为被积函数做差判别不了）有一个小放缩挺妙的，不过也可以直接用几何看出来

[ \begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{x^2}(2\sin x - 1)dx &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} e^{x^2}(2\sin x - 1)dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} e^{x^2}(2\sin x - 1)dx \\\\ &> e^{\frac{\pi^2}{36}}\int_0^{\frac{\pi}{6}}(2\sin x - 1)dx + e^{\frac{\pi^2}{36}}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}(2\sin x - 1)dx \\\\ &= e^{\frac{\pi^2}{36}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(2\sin x - 1)dx \\\\ &= e^{\frac{\pi^2}{36}}(2-\frac{\pi}{2}) > 0 \\\\ \end{aligned} ]

r(A) = r(A^T) = r(AA^T) = r(A^TA)

故

列满秩，又左乘列满秩不改变矩阵的秩，易得

是一个远古习题，

A^2\alpha \ne 0,A^3\alpha=0

，可构造无关向量组：

P=(\alpha, A\alpha,A^2\alpha)

则

P^{-1}AP = P^{-1}(A\alpha,A^2\alpha,0) = P^{-1}(\alpha,A\alpha,A^2\alpha)\begin{pmatrix} 0&0&0\\\\ 1&0&0\\\\ 0&1&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0&0\\\\ 1&0&0\\\\ 0&1&0 \end{pmatrix}

刚学向量组的时候，应该都接触过这题，不过本题难点在于反向构造出来

tr(AA^T) = \sum\limits_{i=0}^n a_{ii}^2 = 0 \Rightarrow A = O

2用分块计算行列式显然易得，3可以参考一下我下面写的东西 4考的是一个构造问题，比较难想到（指我没想到） > 这里分享一个利用顺序主子式正负求惯性指数的方法，首先把顺序主子式按序列如下展开：

[ 1, A_1, A_2, \cdots , A_n ]

> 则正惯性指数为相邻顺序主子式之间的保号数，负惯性指数为变号数 > 举一个简单的例子：若 4 阶矩阵的顺序主子式值为：

1, 2, 3, -2, -3

> 易得正惯性指数保号数为 3 即：

(1,2), (2,3), (-2,-3)

> 负惯性指数变号数为 1 即：

(3,-2)

> 【注】有 0 出现的时候，该法不适用

填空题

根式换元，简单题
一点处的高阶导数一般有两种做法，泰勒展开和求极限但是本题并不是在

x=0

处展开，故代入后高阶不会消失，因此不能用一点处的高阶导数做法剩下就是任意点高阶导数做法了，即找规律和莱布尼茨公式，考虑求几阶找规律最后统一代入

瞎搞搞出来了，实际考的是链式求导法则:

[ r = z_r = z_x \cdot x_r + z_y \cdot y_r = \cos \theta z_x + \sin\theta z_y ]

参数方程求导
二重积分，比较简单，还原积分域，然后对称性化简，极值互化
对于构造能力的要求过于高了（不会），放在最后一题，然后给个第一问还是可以做一做的利用了行列式的单列/行可加性拆分，分离参数

：(这一步不太容易想到)

[ c = \begin{vmatrix}A&\alpha\\\\\alpha^T&b\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}A&0\\\\\alpha^T&b\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}A&\alpha\\\\\alpha^T&0\end{vmatrix} = b|A| + \begin{vmatrix}A&\alpha\\\\\alpha^T&0\end{vmatrix} ]

只需求出右边的行列式，即可解出

|A|

然后就很简单了，用行列式的恒等变形化成分块上三角行列式即可：

[ \begin{vmatrix}A&\alpha\\\\\alpha^T&0\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}A&0\\\\\alpha^T&-\alpha A^{-1}\alpha^T\end{vmatrix} = -\alpha A^{-1}\alpha^T \cdot |A| ]

又

为反对称矩阵，故

(A^{-1})^T = (A^T)^{-1} = -A^{-1}

，即

-\alpha A^{-1}\alpha^T = \alpha A^{-1}\alpha^T

易得：

\alpha A^{-1}\alpha^T = 0

，故

|A| = \dfrac{c}{b}

解答题

第二个考到二重积分中值定理的题（第一个出自李六）由于

\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) \ne 0

，故可以用二重积分中值定理化简，提出

f(\xi,\eta)

直接用连续性代值然后求一个内摆线的面积

设问很新，其实只要按照题意模拟即可，先对特解

y^{*}

求导，然后代入微分方程化简

真题考过两次了，一次是1999年数二（完全抽象型），一次是2011年（调和级数） 答案的放缩比较麻烦，最方便的做法是求和符号和积分符号统一做法

[ a_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}}dx - \int_0^n\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx = \sum_{k=1}^{n-1}\int_k^{k+1} (\dfrac{1}{\sqrt{k}} - \dfrac{1}{\sqrt{x}})dx + \dfrac{1}{\sqrt{n}} - 2 \ge -2 ]

多元函数结合微分方程的考法，真题见的不多，武忠祥每日一题很多（可以直接在博客下找微分方程tag，我没记错的话，每日一题微分方程都是结合多元函数的）比较简单，不多解释了，具体可以参考答案
第一问比较简单，直接求导比较麻烦，不妨化简一下结论，构造辅助函数

F(x)=1+x^2-e^{x^2}

标答的辅助函数还是有些复杂，然后说一下第二问，这个构造，实在不容易想到（我不会的意思）至少他也应该把

\sqrt{n}

开局放在左边吧，不然很难想到是一个积分数列的问题关于这个积分数列问题，真题考过一次（2019年）

[ I_n = \int_0^{+\infty} \dfrac{1 - x^2+x^2}{(1+x^2)^n}dx = I_{n-1} - \int_0^{+\infty}xd[(1+x^2)^{-(n-1)}] ]

屑题，就是按照题目意思构造，然后利用构造的东西反复代入即可

卷三

选择题

先求导，然后利用变上限积分等价无穷小来做最快
导数定义
根据选项构造辅助函数，然后求二阶导判断正负性
几何上来看最快，由

F(x)

大于 0，故积分域越大，平均值越大

看瑕点的阶
二重积分换序，极值互化
黑塞矩阵判别式，边界靠多元函数极限来确定

(x \pm y)^2

在

(0,0)

显然不是极值点，路径

y=\mp x

向量组的问题，B 虽然难证明，但 ACD 容易举反例，我大概说一下我的想法：如果

\alpha_1\ne 0

则

\alpha_1

至少占掉了

维，后

n-1

个向量至多额外占

m-1

维空间故

n-1

的向量中，对答案有贡献的最多只有

m-1

个向量，又

n>m

考虑极端情况，

n=m+1

则必定有一个向量的贡献为

，因此

\alpha_1, \cdots, \alpha_n

线性相关

简单题
想推出

E-A

可逆，等价于推出

(E-A)x=0

只有零解

x^T(E-A)^Tx = x^T(E-A)x \Rightarrow ||x||^2 - x^TAx = ||x||^2 - x^TA^Tx

若

A^T = -A

，则

x^TAx = x^TA^Tx = -x^TA^Tx = 0

，故

||x||^2 = 0

得证只有零解

填空题

隐函数求偏导
齐次解还原微分方程，主义虚根是二重根
物理应用，这里的速度是指沿着AB方向的速度
模拟题意
换序凑微分
解行列式

解答题

对称性化简，极值互化
模拟题意，求多元函数偏导，然后解方程
第一问直接构造辅助函数，利于单调性证明第二问按照第一问放缩，再定积分定义
变量可分离型齐次微分方程，直接用等腰三角形建方程即可，答案复杂了
看似三中值，实际就是双中值问题，给的第三个中值是在提醒你它就是分点利用积分因子还原，易得显然易见，没什么好说的
设问方式很怪，实际就是利用相似传递性，对于未知的A，去解已知的B，做到转换研究对象的目的‘

第三套挺简单的，设问有点新，难度系数挺符合今年的

余丙森五套卷

卷一

选择题

用等价无穷小凑，填选可以试试洛必达（虽然是错误做法，但大多数情况都是对的）
泰勒展开，高阶导数正负，以及左右变号
瑕点的阶
极直互化
求导，找单调性，然后找到零点，结束
可去间断点处即是连续也不一定可导：

|x|

基本公式，推一下也没问题
向量组的关系问题，要知道两个线性无关的向量组不能互相表示时，可能占有相同的维度借助对方其他的维度，是有可能表示出来的，也有可能不能表示出来不过总体首先是一定存在一方维度超维另一方，因此拼起来秩增加
题干意思是

\beta

可以由

列向量线性表示

利用特征值找惯性指数

填空题

倒代还
对称性化简，然后分子分母约掉
求偏导数代值
二重积分换序
泰勒展开等比级数

(A^{*})^{-1} = |A^{-1}| \cdot (A^{-1})^{-1}

解答题

常规题
模拟题意，然后得出一个微分方程，按少

的第一型降阶，然后按变量可分离型做

有点创新，但不够创新，二重积分，被积函数是一个

max

函数，找到分段点，拆成分段函数后，正常做

偏导数，模拟题意
双中值，（专题还没写到）要到的方法是先设出分段点，然后化简结论后，讨论分段点位置
第一问是一个经典证明，群里给人答疑过一次，是利用方程组问题来求解的第二问张八李六都考过了，不多解释

卷二

选择题

第一套出过了，求导绘制大致图像，找零点
区间再现，分离求导变量和积分变量，然后积分就好了
真题考过了，逆用牛顿莱布尼茨公式
张八考过，继续对

f(x,x^2) = x^3e^{-2x}

求关于

的偏导数，解一个方程即可

隐函数存在定理：
F
在点
(x_0,y_0)
某邻域
D
内连续
F(x_0,y_0) = 0
（通常称为初始条件）
F
在某邻域
D
内存在连续偏导数
F_y(x,y)
F_y(x_0,y_0) \ne 0
（一般是验证最后一个条件）
积分再现后并在一起，答案用的负代还：

[ \int_{-1}^1 \frac{x\arctan x}{1+e^x}dx = \dfrac{1}{2}\int_{-1}^1 \frac{(x\arctan x)(1+e^x)}{1+e^x}dx = \int_{-1}^1 x\arctan xdx ]

求导找各个区间上的单调性，然后绘制大致图像，根据极值定义去找点
向量组线性无关的问题，简单题
我没有被分块的结论，当场直接求的
A 选项是正定的定义，不难验证：

(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}) = 0 \Rightarrow 2Ax = 0

，

(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j})= 0 \Rightarrow 2Ax = 0

D 选项考的是正定矩阵合同于单位矩阵，正确表述应把 秩一分解 换成 合同分解

填空题

张八还是李林出过了，放缩然后定积分定义：

[ 1 \leftarrow \dfrac{n^2}{n^2+n} \cdot \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n} e^{\frac{k}{n}} \le \sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2 + k} e^{\frac{k}{n}} \le \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{n} e^{\frac{k}{n}} \rightarrow 1 ]

求导代值，求导的时候就可以发现左边不求的项代值后为零，从而直接略过运算后面的复杂求导
二阶常系数齐次微分方程利用特解形式求出齐次形式下的参数，然后反解出特解的参数
参数方程表面积，套弧微分公式就好了
极限比较复杂，可以适当分解假分数后，拆极限来算

[ \begin{aligned} \lim_{x\to\infty}(\dfrac{x^2+1}{x+1}e^{\frac{1}{x-1}} - x) &= \lim_{x\to\infty}(xe^{\frac{1}{x-1}} - \dfrac{x-1}{x+1}e^{\frac{1}{x-1}} - x) \\\\ &= \lim_{x\to\infty}x(e^{\frac{1}{x-1}} - 1) - \lim_{x\to\infty}\dfrac{x-1}{x+1}e^{\frac{1}{x-1}} \\\\ &= \lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x-1} - \lim_{x\to\infty}\dfrac{x-1}{x+1}\\\\ &= 1 - 1 = 0 \end{aligned} ]

利用相似传递性转移研究对象：

P^{-1} (A - E) P = B \Rightarrow P^{-1}AP = B + E \Rightarrow A \sim B + E

有：

|A| = |B + E|

解答题

隐函数连续求导，极限用洛必达
多元函数最值，先找区域内的驻点，在找边缘上的极值因为有三条曲线的约束，关于

x=0

的可以直接令

x=0

然后在线上找对于

x^2 + y^2 = 16

也可以直接令，然后在线上找从而化为多个一元函数极值问题求解

简单题，通过

sgn

函数对积分域分段，然后分别利用对称性化简

考可微定义：

\lim\limits_{(x_0,y_0)\to(0,0)} [f(x,y) - A(x-0) - B(y-0) - f(0,0)] = o(\sqrt{x^2 + y^2})

求导找单调性，第二问利用第一问的结论判别单调性

A \simeq B \Rightarrow A

的零惯性指数为

2 \Rightarrow A

有二重特征值

0 \Rightarrow |A| = 0

且

r(A) = 1

第二问太常规了：

P^TA^2P = P^TAP \cdot P^TAP = \Lambda^2

卷三

选择题

极限求参数，可以直接倒代换
渐近线求极限，分别是水平渐近线/铅锤渐近线/斜渐近线，注意

e^x

趋于无穷的极限不一样

正常做泰勒展开，选择题可以洛必达，虽然是错误做法，但一般都是对的
变上限积分函数等价无穷小
做差比大小，求导判单调性
通过通解形式反求微分方程，求出齐次后，对通解求导带入求出右侧形式即可
对条件处理出

f(x)

然后代入右边

秩相等的同解问题
合同变换是可逆变换

r(A) = r(A^T) = r(AA^T) = r(A^TA)

填空题

反函数求导：

\dfrac{d^2x}{dy^2} = -\dfrac{y''}{y'^3}

一元函数可微定义：

\Delta y = A \Delta x + o(\Delta x)

，其中

A = \dfrac{dy}{dx}

任意点的高阶导数处理方法：1.找规律，2.莱布尼茨公式本题用莱布尼茨公式
通过通解反求微分方程
简单的定积分，答案用的求和法把积分拆开，然后凑定积分定义，则

[ I = \sum_{k=1}^{n}\int_{k-1}^k \frac{x}{n^2+x}dx = \sum_{k=1}^{n}\frac{\xi_k}{n^2+\xi_k}dx ]

常见的放缩形式：

[ \frac{1}{2} \leftarrow \frac{n^2}{n^2 + n} \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\frac{\xi_k}{n} \le \sum_{k=1}^{n}\frac{\xi_k}{n^2+\xi_k} \le \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\frac{\xi_k}{n} \rightarrow \int_0^1 xdx = \frac{1}{2} ]

同解问题：

r(A) = r\begin{pmatrix}A\\\\B\end{pmatrix} = r(B)

解答题

参数方程求导，好屑的计算题
模拟题意，建立微分方程，少

的第二型降阶求解，最后要化简（真题考过）

前天的每日一题
张八还是李六考过了，大圆套小圆，割补法
第一问单调性，第二问是直接求，没法找出递推关系用单调有界准则，第三问简单

[ \begin{aligned} e^{x_n} + x_n^{2n+1} &= 0 \\\\ x_n^{2n+1} &= -e^{x_n} \\\\ x_n &= -e^{\frac{x_n}{2n+1}} \\\\ \end{aligned} ]

由于

x_n

有界，故

\lim\limits_{n\to\infty}x_n = -\lim\limits_{n\to\infty}e^{\frac{x_n}{2n+1}} = -e^0 = -1

常规题，表达式不唯一说明列向量线性相关，所以行列式为 0，然后利用非齐次有解筛掉错误答案第二问求 A 的正交变换

卷四

选择题

\epsilon - N

定义

简单题，重点在于要有一个无穷小量低消

\sin x

的振荡，才会形成可去间断点，否则就是震荡间断点

利用瑕点收敛的阶可以确定参数

a=b

，然后解一个不定积分即可

[ \int\dfrac{b}{2x^2+bx}dx = \int \dfrac{b+2x-2x}{x(2x+b)} dx = \int (\frac{1}{x} - \frac{2}{2x+b}) dx ]

偏导数连续，建立等式消元即可
均值不等式放缩：

0\le 2xy \le x^2 + y^2 \le 1 \Rightarrow 0 \le \pi xy \le \dfrac{1}{2}\pi

0\le 2\sqrt{xy} \le x + y \le 1 \Rightarrow 0 \le \pi xy \le \dfrac{\sqrt{2}}{2}\pi

按照定义去做就好了
齐次解形式确定出齐次线性微分方程，然后利用特解代入求出非齐次线性微分方程
简单题
列分块，真题考过了
特征重根的特征向量可以利用基础解系任意给出，但不能带上其他特征根的特征向量（超维行为）

填空题

求导，求极限，可以先把对数拆开再求导
先分离求导变量和积分变量，先确定初值，然后求导，再解微分方程，再代入求导前确定的初值
弧微分，可以直接用心形线的参数方程来求
答案用的有理函数分解做的，也可以直接拆项：

[ \int \dfrac{1 + x - x}{x^2(1+x)} dx = \int (\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1 + x - x}{x(1+x)}) dx = \int (\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{1 + x}) dx ]

极值互化，转直角坐标的参数方程（参数是极坐标下的

\theta

），然后就是参数方程求导问题

按最后一列展开，可以直接获得递推式，然后求一个等差数列即可

解答题

常规题，泰勒展开，（大题不能洛必达）可以直接背出这个展开：

(1+x)^{\frac{1}{x}} = e - \dfrac{e}{2}x + \dfrac{11e}{24}x^2 + o(x^2)

依稀记得李六第一套出过了，不过这题比较简单，直接分区间拆绝对值，然后求导代值，很常规
真题考过原题，答案都一摸一样（这题要求

a > 0

，所以最后两个答案要二选一，真题是两个都保留）

轮换对成性化简，然后极值互化，计算量不大
用万能构造法易得辅助函数：

F(x) = e^{\frac{-x}{b-a}}[f(x) - f(a)]

有初值：

F(a) = 0

，需要找到另外一个零点，即可 Rolle 出答案，但是本题只给了

f'(c) = 0

根据之前写的【专题】中值定理证明题，除了罗尔，还有一个费马引理可以处理这个问题若

f(c) = f(a)

秒杀讨论

f(c) \ne f(a)

不妨设

f(c) > f(a)

，易得

F'(c) < 0

，故极大值在

(a,c)

内部取到有

F'(\xi) = 0

第一问如果直接莽上去也可以算，因为他给的矩阵太具体了正常做法应该是列分块凑特征值定义第二问，出题人还是想考特征值定义因为

r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) = 3

，则可以写出线性表示：

\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3

，有：

[ A^{2022}\beta = k_1A\alpha_1 + k_2A\alpha_2 + k_3A\alpha_3 = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + 2^{2022}k_3\alpha_3 ]

于是有等式：

k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + 2^{2022}k_3\alpha_3 = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3

，易得

k_3 = 0

然后就很简单了，利用

\alpha_1

和

\alpha_2

线性表示出

\beta

即可

卷五

选择题

由于极限存在，故

f(0) = f'(0) = 0

，故可凑导数定义：

[ \lim_{x\to0}\dfrac{f(x) + f'(x)}{x} = \lim_{x\to0}\dfrac{f(x) - f(0)}{x} + \lim_{x\to0}\dfrac{f'(x) - f'(0)}{x} = f'(0) + f''(0) = 2 ]

$\displaystyle\int_a^x$ 奇函数 $dx$ = 偶函数，$\displaystyle\int_0^x$ 偶函数 $dx$ = 奇函数 $($ 奇函数 )' = 偶函数，$($ 偶函数 )' = 奇函数
可以从几何上直接看出来，严谨数学证明用组合积分思想：

区间再现，然后求两次导，判单调性和凹凸性，简单题
选择题可以直接特值法

f(x) = x

，严谨证明用到了微分中值的二次构造思想：

\xi f'(\eta) = f(\xi) - f(0) \Rightarrow \xi = \dfrac{f(\xi) - f(0)}{f'(\eta)}

[ \begin{aligned} \lim_{x\to0} \dfrac{\xi}{x} = \lim_{x\to0} \dfrac{f(\xi)-f(0)}{xf'(\eta)} &= f'^{-1}(0)\lim_{x\to0} \dfrac{\displaystyle\int_0^xf(x)dx-xf(0)}{x^2} \\\\ &= f'^{-1}(0)\lim_{x\to0} \dfrac{f(x)-f(0)}{2x} = \dfrac{1}{2} \end{aligned} ]

利用非齐次特解形式，求出齐次方程，然后带入特解解出非齐次方程
连续好判断，但是这题用考研范围内的数学极限，判断不了函数是否可微可以转换思想，直接去看他的偏导数是否连续，一个条件强弱的常识：偏导数连续 > 可微 > (偏导数存在 && 函数连续)
简单题，利用相似对角理论秒杀
右乘行满秩不改变矩阵的秩：

r(A) = r(AB) = 3 = 4 - 1

，然后易得：

r((AB)^{*}) = 1

给出的两个向量线性无关，有：

A = 2E + \alpha\beta^T \Rightarrow A\alpha = -\alpha

以及：

r(A-2E) = r(\alpha\beta^T) = 1

，故有特征根：

\lambda = 2

(二重)，

-1

(一重)

填空题

简单题
求偏导，简单题
套形心坐标公式，简单题
求偏积分，然后解参数，简单题
直接对方程两侧求积分，对于

y''

项的处理用分布还原：

[ \begin{aligned} \int_0^1 x(x-1)y'' dx &= \int_0^1 x(x-1) dy' = 0-\int_0^1 y'(2x-1)dx \\\\ &= -\int_0^1 (2x-1)dy = -0+2\int_0^1ydx \\\\ \end{aligned} ]

隐约记得，真题考过一年，不过是考二重积分的形式，但做法类似，也是通过连续分布积分凑李六最后一套好像也考过了

特征多项式问题，简单题

解答题

答案用求导找的极值，更快速的方法是直接用均值不等式：

[ \dfrac{1}{4a} + \dfrac{a}{2} - \dfrac{2}{3} \ge 2\sqrt{\dfrac{1}{2}} - \dfrac{2}{3} ]

无条件极值加隐函数，求偏导找驻点，凑黑塞矩阵判别式，常规题
真题考过一年，李六第三张还是第四张也考过了用已知条件先化简，然后解二阶非齐次线性微分方程，留数法和微分算子都可
考了万有引力，本物理渣挂掉了，这题还要额外受力分析由于对称，在竖直方向上的分力被抵消了，只需计算水平方向上的合力即可
超简单的柯西中值定理和超简单的放缩
第一问易得，第二问常规，第三问真题考过用了正交变换的保向量模长相等的性质，转换研究对象对于这个做法，我在 【专题】多元函数极值问题 中进行了详解把该做法，拓展到了一般二次型的多元函数问题，有兴趣的可以看一看

张宇八套卷高分版

卷一

选择题

利用函数的性质的定义去做就好了，他是一个偶函数，不是奇函数
连续/可导，两个方程两个未知数
千万不要去解微分方程，考虑利用极值定义去算即可，他都说了

x_0

是驻点了

分母是立方差的因式，考虑换元立方差，然后利用等比级数展开即可
隐函数求偏导
偏导数连续的性质

f_{xy}=f_{yx}

二重积分换序
利用按列展开的定义，构造新的行列式，再计算该行列式
没看懂答案要干嘛，我说一下我的想法，

A^m = 0

易知

只有唯一特征值

，故

tr(A) = 0

这一步并没有用相似理论（A也不能相似对角化），用的是秩一矩阵的性质

可以对角化，故

r(A-2E)=1

填空题

求导，分段点导数定义
求导，按照拐点定义令为 0
不定积分，老朋友了，按照立方和公式展开，然后添项减项再拆，再凑微分
链式求导法则
同解问题，三种方法，我用的是求一个代一个
送分题

解答题

定积分定义
没搞出来，做的时候读假题了，题目转的是切线和曲线围成的部分，以为是多元条件极值，直接莽上去了答案给的方法非常巧妙。欲求围成的面积最小，又因为切线在曲线下方，曲线又是恒定的故等价于让切线扣掉的体积尽可能大，这样就转化了研究对象，题目难度大大化简
物理应用，秒杀难度，计算量也不大
多元函数链式求导，也不难
这题的微分方程还是比较复杂的，是二阶变系数，既可以当做少

的第一型做，也可以当作少

的第二型做复杂在他算的每一步都不太像是正确答案

李林卷出过一道原题，不过李林那个没出好，直接令就能令出来张宇这里就要老老实实做了，不过他引导了第一第二问，又把难度给降下来了，只能说二位出题人平分秋色吧 ~~（不会出题可以不出的呀）~~

卷二

选择题

极值和拐点的定义
常见分段函数，分段讨论即可
含参数不等式，把参数单独放到不等式一边，研究另一侧函数性态
答案很复杂，说说我的做法，不难看出高阶导数相邻阶存在递推关系，利用递推关系建立等差数列递推即可
李林六套卷出过类似的，把定积分设为常数，放到另一遍，然后两侧积分
多元函数线性变换的链式求导问题，模拟题意即可
利用通解还原齐次微分方程，从特征方程出发，乘开即可
求行列式问题，行和相等，全部加到第一列即可；也可以处理成爪型行列式做
送分题
送分题

填空题

极限小题，被积函数等价无穷小解定积分，也可以洛必达
拆成两部分来看，右边用求导后奇偶互换来做
被积函数含

考虑还原，然后就很简单了

对着答案算还会错的题目，出得不行（大汉黄豆）

\Lambda^2 \rightarrow \Lambda

的过程，李林考过，屑题计算量

解答题

极限小题
定积分，比较常规，上来可以用

\sin x

关于

x = \dfrac{\pi}{2}

对称，直接削掉一半积分限室友这一步用的换元，换元换到关于

x=0

的对称区域上，这也是不错的思路然后就可以把

\sin x

换元成

解一个有理函数定积分，根式换元后，可以凑微分分部积分（最快）也可以三角换元

关于

y=-x

对称的两个变量必有

x+y=0

的解，简单的多元极值问题

第一问凑微分，第二问原函数比较难找，这里用万能构造法要寄，需要按照

g(x)

的标准找原函数考虑乘以他的分母搞出来

二重积分，极直互化，然后轮换对称性削掉一部分，积分另一部分即可
答案的构造想不到也看不懂，说一下我的做法，用到了很多秩一矩阵的性质若

A = \alpha\alpha^T

，则有

A^n = tr(A)^{n-1}A = (\alpha^T\alpha)^{n-1}A = A

A^n = A

在数学上称为幂等矩阵。

1-x^{n+1} = (1-x)(1+x+\cdots+x^n)

然后这题给的等式，刚好可以按照幂差还原：

AB-B=A-E

然后就有了两个方程：

\begin{cases} AB = (n+1)A\\\\ B = E + nA \end{cases}

，目的是凑出

B C = E

的形式考虑一式方程两侧乘以

\dfrac{(n+1)}{n}

，有

\dfrac{n+1}{n}AB = nA

然后和二式相减：

(E - \dfrac{n}{n+1}A)B = E

于是

可逆和

的逆矩阵就都有了第二问，就是转化研究对象：

|B-3E| = |nA-2E|

再利用相似对角化理论搞出来（

tr(A)\ne0

，则

一定相似，这是秩一矩阵性质，读者自证不难）

卷三

选择题

选择题，洛一洛更快（虽然是错的做法）
简单题，比较在瑕点的阶
用罗尔原话转换研究对象
考的是一个泰勒展开，最后化为求极限
选项有问题呀，选A为什么不可以选B？做法肯定是先分布积分，利用二阶导数小于零提供的单调性来判正负
可微定义式
对称性消掉一个，再做一个二重积分
做一个可逆变换，利用合同变换和惯性定理出结论
简单题
简单题

填空题

没法用齐次解直接求出，考虑设出微分方程，然后把三个解代入求参
洛必达求极限，隐函数求导
隐函数求导
多元函数求偏积分
上一套和过关版都出过，利用变上限积分凑微分
实对称阵不同特征值的特征向量正交

解答题

幂指函数求极限
方程两侧不停求导代入
多元函数极限，惭愧，做这一题之前，我甚至不知道椭圆面积是

a^2b^2

目标函数是多项积，约束条件是多项平方和，可以凑均值不等式放缩，避免拉格朗日数乘法

[ a^2b^2 = a^2 + b^4 = \dfrac{1}{2}a^2 + \dfrac{1}{2}a^2 + b^4 \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}a^2b^2} ]

二重积分，极直互化
微分方程部分很简单，求面积极值就比较痛苦
常规题，不等式那一问用正交变换转换研究对象

卷四

选择题

幂指函数求极限
罗尔定理的应用
用一下区间再现后积分再现
瑕点处的阶
比较综合的一道题，连续性后导数定义
积不出来的，实际考的是积分比大小
二重积分换序
左乘列满秩，右乘行满秩不改变矩阵的秩第二个命题直接反例

s = 1

凑特征值定义的题
利用基础解系反向构造系数矩阵

填空题

极限，倒代换
参数方程求导
区间再现
高阶导数，注意不是一点处的高阶导数，需要推导，不能直接展开
偏积分，多元函数求偏导
已知特征值反向构造问题，步骤里有一些窍门，可以完全避免求逆，运算超快，不太容易文字讲解，是一个凯哥讲过的方法

解答题

多元函数极值，可以用齐次性化简
分离参数，求单调性问题
定积分几何应用，不难
中值可分离性问题，可以用柯西中值定理，第二问简单的求极限
二重积分，简单的割补法
真题考过了，简单题

卷五

选择题

瑕点比阶
求极限
积分比大小，上下限相同，可以比较被积函数大小，做差
分离参数，求导绘制函数图像
减号处拆开，泰勒展开
洛必达
变上限积分的被积函数不连续，则变上限积分在这一点不可导
右乘行满秩矩阵，不改变自身的秩
凑特征值与特征向量的定义
相似的必要条件，以及合同对角化问题

填空题

隐函数，参数方程，求导
变量可分离型微分方程
注意是求面积，不是求周长

S = \frac{1}{2}\theta r^2

可微定义
二重积分，对称性化简积分区间，然后换序
按列展开定理反向构造行列式

解答题

李林出过，幂指函数求极限取指对数，然后定积分定义
李林出过，分区间拆开，求导后利用偶函数性质化简
李林出过，表达式可以用辅助角公式化简，这样第二问可以直接点火公式
多元函数偏导变换问题，俗称模拟题
二重积分，可以逆用形心坐标公式化简计算

的部分

利用相似的传递性，转换研究对象，简单题

卷六

选择题

简单题
常用的有限项放缩法
求导判断单调性，绘制大致函数图像
简单题
简单题
求偏导，换元，解微分方程
积分比大小，直接比较被积函数即可，做差法
矩阵等价：有限次初等行列变换；矩阵相似：

\exists

可逆矩阵

, s.t.

Q^{-1}AQ = B

矩阵合同：

\exists

可逆矩阵

, s.t.

Q^{T}AQ = B

二次型正定的必要条件：顺序主子式都大于零
简单题

填空题

简单题
换序
不定积分，先对分母处理，把整个分式化成倒三角，然后按住后面不动，对前面凑微分分部积分，即可把后面抵消
二重积分定义
求偏导，把

f_y

视作

f_2

就能看懂了

简单题

解答题

真题考过了
把参数方程和微分方程结合起来考了，出得还不错，最后是解不定积分
几何应用 + 物理应用，求变化率的问题，注意抛物线要设对
微分不等式，做差，找初值，判单调性
二重积分，对称性化简积分区域，拆积分区域去绝对值，常规题
利用对角阵反向构造原矩阵，简单题

卷七

选择题

简单题
11月21号每日一题
简单题
简单题
通解形式反向构造
简单题
简单题
简单题
简单题
简单题

填空题

简单题
错题❌，题目应该把积分下限提到1，否则式子是错误的做法是，求两次导，利用平方差裂项，然后分别求高阶导
简单题
简单题
题目忽悠人，实际也是简单题
利用余子式反向构造

解答题

微分方程 + 不定积分
简单题
外摆线求体积和表面积
双中值问题，用拉格朗日中值定理
二重积分，对称性化简，然后直接积
简单题

卷八

选择题

简单题
简单题
两个零点
简单题

I_1

放缩出来求

二重积分，对称性
变量可分离型微分方程
若

可逆，则

可以只通过初等行/列变换之一，化成单位矩阵形式

简单题
简单题

填空题

参数方程求导
隐函数求导
一点处的高阶导数考虑泰勒展开
多元函数求偏导
二重积分，对称性
凑特征值定义

解答题

积分化归成数列，利用递推关系式求解
不等式很好证明，第二问放缩定积分定义
克拉默法则
二重积分，真题考过了原题
凯哥选填课上讲过的，利用推广的洛必达法则
没算完，不想算，没意思和相似类似的做法，不过合同要一直合同到标准型，然后再弄回去，真没意思，纯算

公共数学二真题模拟

year	score	date	about
2005	135	10/20	第18题微分方程不会，要先转化参数方程最后一题线性代数，直接分类讨论乱搞就好了
2006	143	10/21	变上限积分函数的连续性与被积函数的连续性之间的关系第12题是一个拉格朗日数乘法解方程问题
2007	123	10/22	变上限积分表示一段面积的时候不要想当然偏导数连续，意味着什么要搞清楚非齐次微分方程的通解要加上齐次解！！第19题微分方程没做出来，有时要颠倒求解好好反思
2008	133	10/23	{$f(x_n)$}表示函数 $f(x)$ 的生成数列第一次错线代题，用到了克拉默法则拐点是二阶导数为0 或不存在的点好好反思
2009	146	10/24	这套填选全对，大题都是做对的，但是每个大题的最后一小步都会出错好好反思
2010	144	10/25	物理应用对称区间，算完积分，要记得对称过去乘2填选最后一题过于简单，导致提公因式提错了2333，细节问题
2011	136	10/26	物理应用不会（弱项，之前准备数一，就没认真写过物理应用题目多元函数无条件极值，黑赛矩阵行列式大于零取极值（$z_{xx}<0$极大，反之极小）黑赛矩阵行列式等于零无法判别（用极值的定义，求二元极限）黑赛矩阵行列式小于零不是极值点
2012	136	10/27	选择题第二题算对了，选错了选择题第三题，没看到是正项级数，选了非充分非必要定积分的几何应用，没看到第一问，只做了第二问
2013	132	10/28	选择题错了三道，前两个错误是计算错误$AB=C$ 是从 $A,C$ 列分块来看的一个关于 $B$ 的可逆变化这一套的条件极值不是给人做的，二次多项式的可以用到三角换元、不等式放缩、二次型化简来做，但三次只能用拉格朗日数乘法不过有个小问题，就是拉格朗日数乘法求解的是约束条件的边界上的极值因此最后求最值的时候，还是要考虑约束条件边界上，取值的边界情况
2014	122	10/29	选择题第5题是一个很神奇的反求过程，不会数列第20题是一个迭代递推数列，居然是直接归纳法写出的通项，没想到其他都是计算错误：分数通分错误、微分方程求完没代初值错误、二重积分约分约错错误感觉今天状态不是很好 T_T
2015	144	10/30	好好睡了一觉调整了一下状态，外加简单年，勉强及格错了一道微分方程填空题，答案算对的，誊到答案纸上写错了线代第一问最后一个矩阵算错了要手算三次矩阵乘法和一次求逆矩阵的过程这种题就应该编程来实现，哪有让人手算的。。。
2016	136	10/31	第11题没看到两个解，直接当成二阶微分方程做了，实际上是一阶第13题注意这个 $L$ 不是弧微分，$dL \ne \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$故 $\dfrac{dL}{dt} \ne \sqrt{(\dfrac{dx}{dt})^2 + (\dfrac{dy}{dt})^2}$，这是我错的原因，应该用链式求导法则来算$\dfrac{dL}{dt} = \dfrac{dL}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt}$第19题，临门一脚，虽然求出了 $u(x)$ 没看到要求通解，扣两分第20题，算体积时要用到割补法因为给的一个是直角坐标系，一个是参数方程，不能直接算想了很久如何直接用二重积分算，导致一开始没做出来，做完线性代数回来重新看的时候，发现第二问要求表面积，表面积要分别算两个曲线的弧微分，这才想到第一问可以用割补法来求主要是前10年的几何应用都可以直接用二重积分搞出来，导致这方面的思想迟钝了2333最后一题求逆矩阵时又算错了。主要是时间不多了，没实现检验这套总体计算量相较于15年大了很多，15两个小时就写完了，16写满3小时偶数年难就难在计算量上，后期打算以增强计算能力为主要方向 $w$
2017	131	11/1	两个小时就做完了，然后就去吃饭了，然后就计算错了一堆事实证明，越简单的卷子，越是不能大意选择题第二题用的特殊值法，暂时还没想出怎么做到泛性证明第16题链式求导，注意因为已经要求具体值了，所以答案要写成$f_1(1,1)$，而不能只写 $f_1$第21题主要算出方程后，要写出 $x$ 的范围，这是题目的限制条件这套卷子犯病最严重的地方是 $x$ 转极坐标的时候代了 $r\sin\theta$，太下饭了
2018	126	11/3	填选全对，就怪了，第十二题，参数方程求导，算错了，难受这套填选，难度是在的，两道线性代数选择题需要一定的思考量，不像前几年硬送第15题经典根式换元，ez难度第16题，方程两侧求导时，只导了一遍，这种事发生第二次了。。。第17题，是一套积分域为外摆线的二重积分题，计算量蛮大的有两种算法，一种是强行乘开硬算，一种是多次利用和差倍半三角公式化简，都不太好算第18题，求导判单调性找极值点，ez难度第19题，直接柯西不等式秒杀第20题，没搞出来，变化率的问题，以为是微分方程，其实直接设出曲线方程然后算一个二重积分把 $S$ 搞出来，再套公式用链式求导法则即可第21题，经典单调有界准则，ez难度第22题，第一问解方程组，第二问配方法（配错了，难受）第23题，A经过有限次初等列变化变成B，求参数，可以拼在一起让秩相等，也可以直接求行列式因为A的行列式为0，然后反解出参数；第二问还是去方程组的问题，最后需要一点解结构的理解有一说一做的不行，外摆线没算出来，大题小错误频繁，物理应用经典不会，慢慢来吧。。。
2019	126	11/4	第19题是个很好的题目，可以读假题了，后来重新做，搞出来了是一个老模型了，拆积分区间，然后做积分再现这题的综合性考察还挺多的，可惜做的时候读假题了，浪费了一个好题第20题求导计算错误第22题，出题人脑子指定是有点问题的，题目中 "求 $a$ 的取值"然而 $a$ 实际上不但要分类讨论，而且其中一个情况下，$a$ 是可以取到实数集的大小做的时候，一直以为自己错了，对完答案后，一直在输出出题人还有一个选择题第 $5$ 题，比较积分大小，1和2好确定，3比较复杂没想出来答案是用3和2做差加辅助角公式搞出来的其他全对，感觉这套就是被出题人搞了，唉。。。
2020	141	12/20	完全体考的，切菜就完事了
2021		last	这套没时间做了。。
平均	135.4

f(x_n)

}表示函数

f(x)

的生成数列第一次错线代题，用到了 克拉默法则 拐点是 二阶导数为0 或 不存在 的点 好好反思 2009 146 10/24 这套填选全对，大题都是做对的，但是每个大题的最后一小步都会出错 好好反思 2010 144 10/25 物理应用 对称区间，算完积分，要记得对称过去乘2 填选最后一题过于简单，导致提公因式提错了2333，细节问题 2011 136 10/26 物理应用不会（弱项，之前准备数一，就没认真写过物理应用题目多元函数无条件极值，黑赛矩阵行列式 大于零取极值 （

z_{xx}<0

极大，反之极小） 黑赛矩阵行列式 等于零无法判别（用极值的定义，求二元极限） 黑赛矩阵行列式 小于零不是极值点 2012 136 10/27 选择题第二题算对了，选错了选择题第三题，没看到是正项级数，选了非充分非必要定积分的几何应用，没看到第一问，只做了第二问 2013 132 10/28 选择题错了三道，前两个错误是计算错误

AB=C

是从

A,C

列分块来看的一个关于

的可逆变化这一套的 条件极值 不是给人做的，二次多项式 的可以用到 三角换元、不等式放缩、二次型 化简来做，但三次只能用 拉格朗日数乘法 不过有个小问题，就是拉格朗日数乘法求解的是 约束条件的边界上的极值 因此最后求最值的时候，还是要考虑约束条件边界上，取值的边界情况 2014 122 10/29 选择题第5题是一个很神奇的反求过程，不会数列第20题是一个迭代递推数列，居然是直接归纳法写出的通项，没想到其他都是计算错误：分数通分错误、微分方程求完没代初值错误、二重积分约分约错错误感觉今天状态不是很好 T_T 2015 144 10/30 好好睡了一觉调整了一下状态，外加简单年，勉强及格错了一道微分方程填空题，答案算对的，誊到答案纸上写错了线代第一问最后一个矩阵算错了要手算三次矩阵乘法和一次求逆矩阵的过程这种题就应该编程来实现，哪有让人手算的。。。 2016 136 10/31 第11题没看到两个解，直接当成二阶微分方程做了，实际上是一阶第13题注意这个

不是 弧微分，

dL \ne \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}

故

\dfrac{dL}{dt} \ne \sqrt{(\dfrac{dx}{dt})^2 + (\dfrac{dy}{dt})^2}

，这是我错的原因，应该用链式求导法则来算

\dfrac{dL}{dt} = \dfrac{dL}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt}

第19题，临门一脚，虽然求出了

u(x)

没看到要求通解，扣两分第20题，算体积时要用到 割补法 因为给的一个是直角坐标系，一个是参数方程，不能直接算想了很久如何直接用二重积分算，导致一开始没做出来，做完线性代数回来重新看的时候，发现第二问要求表面积，表面积要分别算两个曲线的 弧微分，这才想到第一问可以用割补法来求主要是前10年的几何应用都可以直接用二重积分搞出来，导致这方面的思想迟钝了2333 最后一题求逆矩阵时又算错了。主要是时间不多了，没实现检验这套总体计算量相较于15年大了很多，15两个小时就写完了，16写满3小时偶数年难就难在计算量上，后期打算以增强计算能力为主要方向

2017 131 11/1 两个小时就做完了，然后就去吃饭了，然后就计算错了一堆事实证明，越简单的卷子，越是不能大意选择题第二题用的特殊值法，暂时还没想出怎么做到泛性证明第16题链式求导，注意因为已经要求具体值了，所以答案要写成

f_1(1,1)

，而不能只写

f_1

第21题主要算出方程后，要写出

的范围，这是题目的限制条件这套卷子犯病最严重的地方是

转极坐标的时候代了

r\sin\theta

，太下饭了 2018 126 11/3 填选全对，就怪了，第十二题，参数方程求导，算错了，难受这套填选，难度是在的，两道线性代数选择题需要一定的思考量，不像前几年硬送第15题经典根式换元，ez难度第16题，方程两侧求导时，只导了一遍，这种事发生第二次了。。。第17题，是一套积分域为外摆线的二重积分题，计算量蛮大的有两种算法，一种是强行乘开硬算，一种是多次利用和差倍半三角公式化简，都不太好算第18题，求导判单调性找极值点，ez难度第19题，直接柯西不等式秒杀第20题，没搞出来，变化率的问题，以为是微分方程，其实直接设出曲线方程然后算一个二重积分把

搞出来，再套公式用链式求导法则即可第21题，经典单调有界准则，ez难度第22题，第一问解方程组，第二问配方法（配错了，难受）第23题，A经过有限次初等列变化变成B，求参数，可以拼在一起让秩相等，也可以直接求行列式因为A的行列式为0，然后反解出参数；第二问还是去方程组的问题，最后需要一点解结构的理解有一说一做的不行，外摆线没算出来，大题小错误频繁，物理应用经典不会，慢慢来吧。。。 2019 126 11/4 第19题是个很好的题目，可以读假题了，后来重新做，搞出来了是一个老模型了，拆积分区间，然后做积分再现这题的综合性考察还挺多的，可惜做的时候读假题了，浪费了一个好题第20题求导计算错误第22题，出题人脑子指定是有点问题的，题目中 "求

的取值" 然而

实际上不但要分类讨论，而且其中一个情况下，

是可以取到实数集的大小做的时候，一直以为自己错了，对完答案后，一直在输出出题人还有一个选择题第

题，比较积分大小，1和2好确定，3比较复杂没想出来答案是用3和2做差加辅助角公式搞出来的其他全对，感觉这套就是被出题人搞了，唉。。。 2020 141 12/20 完全体考的，切菜就完事了 2021 last 这套没时间做了。。平均 135.4

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原始发表：2022-01-01，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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