非线性方程(一)
大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
此为全书第一章，主matlab入门——通过学习各种插值法：反线性插值、牛顿法之类。
1、diff
>> diff('x^2')
ans =
-26 -44
>> diff(x^2)
ans =
2*x书上用的是加引号那个版本的，以至于我困了好久。
2、牛顿法
对 f(x) = (x*exp(x))/2 - 2*x^2 进行牛顿插值解
>> x = 0: 0.05: 3;
>> y = 0.5*x.*exp(x) - 2*x.^2;
>> plot(x,y);grid
非线性方程(一)
牛顿插值实现
1 >> f =inline('(x*exp(x))/2 - 2*x^2');
2 >> fp = inline('exp(x)/2 - 4*x + (x*exp(x))/2'); %f的导数
3 >> x0 = 0.4;
4 >> x0 = x0 - f(x0)/fp(x0)
5
6 x0 =
7
8 0.3611其中line 4为公式。
3、误差初探
关于有限精度的作用可以用解析方法进行研究，也是必须讨论的内容，但这里只研究其对割线法和有限差分牛顿法的影响。
考虑后一种算法。
example：
首先将其写成拟牛顿法的形式，xk+1 = xk – f(xk)/sk , 其中 sk = (f(x k +h) – f(x k ))/h；
现在用牛顿法近似f(x)在 x=1的导数。
>> x=1; h=0.1;
>> (log(x+h) - log(x))/h
ans =
0.9531对于0.1的步长，这个结果还算合理【书上原话= =
>> h=10.^(-(1:20))
>> (log(x+h) - log(x))./h
ans =
Columns 1 through 5
0.9531 0.9950 0.9995 1.0000 1.0000
Columns 6 through 10
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
Columns 11 through 15
1.0000 1.0001 0.9992 0.9992 1.1102
Columns 16 through 20
0 0 0 0 0
>> plot(h, abs(ans-1), 'r'), grid
非线性方程(一)
有图可以看到，误差有一个时期是下降的，从大约h = 1E-12开始，误差又开始增加。
这里主要指出，当h很小时，上面的计算中有两个因素在作怪：一个是分子中两个接近相等的数之间的减法，另一个是用很小的数作除数。
产生这些原因在于计算机只能表示数字的有限多位。
附几段关于计算机精度代码
>> inf*2
ans = Inf
>> inf -inf
ans = NaN
>> eps
ans = 2.2204e-16
>> 1+eps
ans = 1.0000
>> 1+eps == 1
ans = 0
>> 1+eps/2
ans = 1
>> ans == 1
ans = 1
>> (1+eps/2) + eps/2
ans = 1
>> ans == 1
ans = 1
>> 1 + (eps/2 + eps/2) %计算机加法不满足结合律
ans = 1.0000
>> ans == 1
ans = 0>> x1= 0.1; x2= pi/2;
>> abs(sin(x1+err)- sin(x1))
ans = 9.9500e-11
>> abs(sin(x2+err)- sin(x2))
ans = 0
%在x接近(pi/2)【此时导数为0】时sin(x)的求值要比x接近于零时的求值更加精确，因为零点的导数为1.
%可以看到f的导数(变化速度)越大，误差也越大>> err = 1e-6
err = 1.0000e-06
>> abs(sin(x1+err)- sin(x1))
ans = 9.9500e-07
>> abs(sin(x2+err)- sin(x2))
ans = 5.0004e-13发布者：全栈程序员栈长，转载请注明出处：https://javaforall.cn/167251.html原文链接：https://javaforall.cn
本文参与 腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自作者个人站点/博客。
如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除
评论
登录后参与评论
推荐阅读
腾讯云开发者
