作者 | 梁唐
出品 | 公众号：Coder梁（ID：Coder_LT）
大家好，日拱一卒，我是梁唐。
我们继续MIT的线性代数课，这次的内容关于四个基本子空间。其实不算是新的知识点，而是对之前已经讲述过的内容的整合。理解了这四个基本子空间的概念之后，可以很好地将之前学过的知识点都串联在一起，形成一张完整的知识网络，帮助我们更好地理解线性代数这门课的精髓。
四种基本子空间
这个概念是一个合订版，把之前介绍过的几个相似的概念整合在了一起，方便我们理解。
这四种基本子空间分别是：
C(A)N(A)C(A^T)N(A^T)这四种基本子空间当中前两种我们已经比较熟悉了，在之前的内容当中出现过很多次。后面的两种是第一次遇到，稍微展开解释一下。
首先是行空间，它和列空间对应。列空间指的是矩阵中的列向量通过线性组合能够得到的子空间。那么行空间，自然就是矩阵的行向量通过线性组合得到的子空间。
另外，矩阵
A的行向量，其实就是矩阵
A^T的列向量，所以我们可以把行空间记作
C(A^T)。
关于左零空间，它对应的是矩阵
A^T的零空间，它还有一些其他的特性，我们等会再来仔细分析。列空间和零空间我们之前已经分析过了，假设矩阵
A是一个m x n的矩阵，它的秩是
r，那么
C(A)\in R^m,
dim(C(A))=r。
N(A)\in R^n,
dim(N(A))=n-r。
n-r即自由变量的数量，对应零空间的维度。
行空间
我们想要知道行空间的维度和大小，先来看一个例子：
A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix}
我们对矩阵进行化简，得到行阶梯简化矩阵。
A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元、化简} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}=R
这个化简的过程时对矩阵
A的行进行线性变换的过程，这影响了矩阵
A的列空间。所以
C(A)\neq C(R)，然而由行空间的定义可以得知行变换并不会影响行空间，所以矩阵
A和
R的行空间是一样的。
化简之后
R中非全零行是前两行，这也是
A行空间的一组基。进而可以知道，对于行空间
C(A^T)，
C(A^T)\in R^n, dim(C(A^T))=r。
左零空间
最后我们来看看左零空间，对于矩阵
A^T来说我们来看它对应的零空间：
A^Ty = 0\rightarrow (A^Ty)^T=0^T \rightarrow y^TA=0^T
从上面的推导我们可以看出，左零空间对应的是左乘为0的解，所以得名。
接着，我们采用Gauss-Jordan消元法，矩阵
A和单位矩阵
I拼接之后进行化简消元。我们假设化简消元之后得到的结果为
\left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times m}\end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times m}\end{array}\right]此时对于矩阵
A进行的所有行变换都会被记录在矩阵
E中，等价于左乘操作：
E\left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times m}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times m}\end{array}\right]
进一步我们可以知道
EA=R，在第二章节当中，我们讲过当矩阵
A可逆时，化简之后得到的
R是单位矩阵，此时
E=A^{-1}我们还是看同样的例子：
\left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times m}\end{array}\right]= \left[ \begin{array} {c c c c|c c c} 1 & 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \underrightarrow{消元、化简} \left[ \begin{array} {c c c c|c c c} 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] =\left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times m}\end{array}\right]
则
EA= \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} =R
我们知道
A的秩为2，所以化简之后最后一行全为零。我们对矩阵
A左乘了矩阵
E等价于对
A进行行变换。那么也就是说
E中最后一行的行变换可以得到0，它对应
y^TA=0的解。
R中的全零行有
m-r个，
N(A^T)的一组基的数量也是
m-r个，我们最终得到结论：
N(A^T)\in R^m, dim(N(A^T)) = m-r
矩阵空间
这个是教授在最后引入的概念。
我们来想想一个新的向量空间，它当中包含了所有3 x 3的矩阵。我们暂时不考虑矩阵之间的数乘，在只考虑矩阵进行线性组合的情况下，可以保证这符合向量空间的定义，即这个空间中所有矩阵之间的线性组合得到的结果仍然在这个空间当中。
我们假设这个空间是
M，那么可以得知，上三角矩阵集合、对称矩阵集合、对角线矩阵集合都是
M的子空间。
观察一下对角矩阵，如果取
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \\ \end{bmatrix} ，可以发现，任何三阶对角矩阵均可用这三个矩阵的线性组合生成，因此，他们生成了三阶对角矩阵空间，即这三个矩阵是三阶对角矩阵空间的一组基。
老实讲听到这里，我真的有一种开脑洞的感觉，居然还能这么拓展。那一瞬间，真的get到了大佬们研究数学钻研的乐趣。
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