日拱一卒，麻省理工的线性代数课，向量空间

作者 | 梁唐

出品 | 公众号：Coder梁（ID：Coder_LT）

大家好，日拱一卒，我是梁唐。

今天我们继续MIT的线性代数专题，这一节课的内容关于向量空间，它非常非常重要，也是线性代数的核心，是后面几乎所有内容的基础。

这一节课由于录像问题，是课后重新补录的，看着老教授对着空空荡荡的教室独自讲课，有些动容。但即便如此，教授的教课依然非常精彩，不愧是有几十年的教授经验沉淀。这种游刃有余、手到擒来的感觉真的非常非常令人敬佩。

好了，题外话就说到这里，让我们开始今天的课程吧。

置换矩阵

在之前关于线性方程求解的时候，我们曾经说过，在碰到主元为0的时候，我们需要使用置换矩阵，将非0的主元换到当前位置来。这个用来置换矩阵中一些行的矩阵，就叫做置换矩阵，一般写作

。

我们在上节课推导

时，加上了一个前提条件——禁止行交换。

然而除了主元为0时需要行交换之外，课堂上教授还提到一些科学计算软件比如MATLAB，在主元非常小，接近于0时也会进行交换。这是为了提高计算效率，那么问题来了，在我们需要进行行交换的时候，我们应该怎么办呢？

很简单，我们在

矩阵左侧乘上一个置换矩阵

。即公式变成

，这个式子对于所有可逆矩阵

都适用。

置换矩阵的功能是交换某些行的位置，对于一个n阶的置换矩阵而言，我们可以看成是重新排列矩阵中的n行。对于n个物品的排列，一共有

种。所以n阶的置换矩阵也有

种可能。

除此之外，置换矩阵还有一个非常重要的性质：

即置换矩阵的逆矩阵等于它的转置，也可以写成：

转置矩阵

我们先来看一个转置矩阵的例子：

该矩阵的转置矩阵为:

我们可以看成原矩阵的第一行变成了转置矩阵的第一列，原矩阵的第一列变成了转置矩阵的第一行。转置矩阵使用符号

来表示，它是transpose的缩写。接着，我们根据上面这个例子写出转置矩阵的定义：

对称矩阵

对称矩阵的定义非常简单，就是它的转置等于它本身，即

。

教授举了个例子：

关于对称矩阵有一个神奇的性质，任何矩阵和它的转置相乘得到的结果都是对称矩阵：

是一个对称矩阵。

以刚才老师举的例子为例：

对于这个性质我们可以进行简单的证明，怎么证明呢，我们对

的结果求转置：

显然

符合对称矩阵的定义，所以它是一个对称矩阵。

向量空间

所谓的空间即为一些向量的集合，然而并非所有的集合都能称作空间，有一定的要求，需要能够包含集合内所有向量进行线性组合或数乘的结果。

以

为例，这里的

表示的是实数，2表示是二维空间，这对应我们非常熟悉的二维的平面。

设想一下，如果我们去掉这个平面上的原点，那么它还是一个空间吗？

显然不是，因为对于任意向量而言，当它和0进行数乘之后都会得到(0, 0)坐标的向量。而原点不在平面当中，这就违反了空间的定义。进而，我们可以推到：所有向量空间必须包含0向量，即原点。

我们来看一个不是向量空间的例子，比如我们只取

空间的一个部分：

我们只取平面上的一个象限，那么得到的结果还是向量空间吗？

显然，这个部分当中所有的向量的所有分量都是非负数。比如[3, 2]，但我们将它数乘一个负数就会得到一个负向量。并且这个负向量不在我们取的范围内，这就和向量空间的定义：空间内的任何向量做数乘或线性组合、四则运算的结果都仍然在空间内矛盾。

那么我们有没有办法只从

当中取一个子集，并且依然是向量空间呢？

当然是有的，比如我们在平面上随意选择一个向量，将它加减乘除以及数乘之后得到的结果会是一条穿过原点直线。这条直线上的所有向量进行线性组合或者数乘得到的结果仍然在这条直线上，所以这也是一个向量空间，不过它是

的一个子空间。

我们整理一下

的子空间，一共有这么几种：

本身

1. 所有穿过原点的直线
2. 仅包含原点的空间

扩展到

，它的子空间有：

本身

1. 穿过原点的平面
2. 穿过原点的直线
3. 原点本身

类似的结论，我们还可以发散到n维空间。

最后，我们看下如何从矩阵中构造向量子空间。我们以之前的矩阵为例：

矩阵中的每一列都是

中的向量，我们可以用这些向量来构造

中的子空间。由于

矩阵中有两列，这两列构造出的子空间必然包含它们所有的线性组合，这样的子空间称为列空间，写作

。

在几何上，上面例子的列空间是一个平面，并且是通过原点的平面，这个结论也可以发散到高维空间。

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