花匠栋栋种了一排花,每株花都有自己的高度。花儿越长越大,也越来越挤。栋栋决定把这排中的一部分花移走,将剩下的留在原地,使得剩下的花能有空间长大,同时,栋栋希望剩下的花排列得比较别致。 具体而言,栋栋的花的高度可以看成一列整数h_1, h_2, … , h_n。设当一部分花被移走后,剩下的花的高度依次为g_1, g_2, … , g_m,则栋栋希望下面两个条件中至少有一个满足: 条件 A:对于所有的1<i<m/2,g_2i > g_2i-1,且g_2i > g_2i+1; 条件 B:对于所有的1<i<m/2,g_2i < g_2i-1,且g_2i < g_2i+1。 注意上面两个条件在m = 1时同时满足,当m > 1时最多有一个能满足。 请问,栋栋最多能将多少株花留在原地。
输入的第一行包含一个整数 n,表示开始时花的株数。 第二行包含 n 个整数,依次为h_1, h_2,… , h_n,表示每株花的高度。
输出一行,包含一个整数 m,表示最多能留在原地的花的株数。
5 5 3 2 1 2
3
对于 20%的数据,n ≤ 10; 对于 30%的数据,n ≤ 25; 对于 70%的数据,n ≤ 1000,0 ≤ h_i ≤ 1000; 对于 100%的数据,1 ≤ n ≤ 100,000,0 ≤ h_i ≤ 1,000,000,所有的h_i随机生成,所有随机数服从某区间内的均匀分布。 解题报告 看到此题首先想到可能是要使用动态规划算法来解,所以当我的学生还没有任何思路的时候,我就已经开始构造动态规划了,刚开始,我的思路是这样子的: 1、令S[i][1]表示以i为结尾,且降序到达a[i]的最长抖动序列长度;令S[i][0]表示以i为结尾,且升序到达a[i]的最长抖动序列长度。则有如下递推公式: S[i+1][1]=max(S[j][0])+1,i>=j>=1,a[j]>a[i+1], S[i+1][0]=max(S[j][1])+1,i>=j>=1,a[j]<a[i+1], S[1][1]=S[1][0]=1。 则最终答案应该是max(S[n][1],S[n][0])。 一直不知道如何优化max(S[j][0/1])的值,因此这样的DP时间复杂度将是O(n^2)的,考虑到70%的数据n<=1000,我想骗骗分数的话,我还是可以搞70分的,于是我按照 此思路写了一个代码:
毫无疑问,这个程序超时了。不过幸运的得到了80分。此算法过不了此题,于是开始考虑优化算法。于是便有了第二种方法。 2、依然设数组S[i][0/1],但考虑如下递推公式: (1)a[i+1]>a[i]: S[i+1][0]=max(S[i][1]+1,S[i][0]); S[i+1][1]=S[i][1]; (2)a[i+1]<a[i]: S[i+1][0]=S[i][0]; S[i+1][1]=max(S[i][0]+1,S[i][1]); (3)a[i+1]= =a[i]: S[i+1][0]=S[i][0]; S[i+1][1]=S[i][1]; S[1][0]=S[1][1]=1. 算法优化后,再一次编写程序,O(n)的时间复杂度,当然是顺利AC了,代码如下:
3、听我的学生将他可以把此题也分段,然后O(n)时间内就可以做出来,当自己使用DP解决了此题后,仔细想一想,确实可以!对序列缩点,连续递减的点和连续递增的点是可以缩到一个代表性的点上的,比如说样例给的5 3 2 1 2,可以缩成5,1,2或3,1,2或2,1,2,即5 3 2这三个连续递减的点实际上可以由一个点代替,1是一个转折点,于是你也可以说是找转折点个数。一下是我的代码,也可以很快的A掉此题:
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