逆矩阵的伴随阵的求法_伴随矩阵与原矩阵的特征值
大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
一、计算思路
一个方阵 A 如果满足
，则A可逆， 且
由上面公式可以知道，我们只需求出 A 的伴随阵及A对应的行列式的值即可求出方阵A的
逆矩阵。下面将分别实现这两个部分。
二、具体实现
1、计算矩阵A对应的行列式的值
引入一个定理： 行列式的值等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式
乘积之和。
上面定理中提到了代数余子式，其实这个概念很简单。在n阶行列式中位于 (i, j) 的元素
的
代数余子式就是将该元素所在的第i行和第j列划掉后，留下来的n-1阶行列式叫做
的余子式，
记作
。记
则
叫做元
的代数余子式。
根据上面这些我们就可以写出 计算矩阵对应的行列式的值的算法了。
private static double getValueOfDeterminant(double[][] data) { if(data.length == 1) { return data[0][0]; } if(data.length == 2) { return data[0][0] * data[1][1] - data[0][1] * data[1][0]; } double valueOfDeterminant = 0; double[] elementsMultiplyItsCofactor = new double[data[0].length]; for(int j=0; j<data[0].length; j++) { double cofactorValue = getValueOfDeterminant(getCofactor(data, 0, j)); if(j % 2 == 0) { elementsMultiplyItsCofactor[j] = data[0][j] * cofactorValue; } else { elementsMultiplyItsCofactor[j] = -1 * data[0][j] * cofactorValue; } valueOfDeterminant += elementsMultiplyItsCofactor[j]; } return valueOfDeterminant; }函数 getValueOfDeterminant 中用到了一个函数 getCofactor ， 这个函数很简单，就是
用来获取矩阵中矩阵A中(i, j)元
的余子式的。
2、计算获取矩阵A的伴随阵并求逆矩阵
伴随阵的定义: 行列式|A|的各个元素的代数余子式
所构成的如下矩阵
分别计算矩阵A中每个元素的代数余子式，并除以|A|,即可获得矩阵A的逆矩阵.
主要代码如下:
public static double[][] getMatrixInversion(double[][] data) { //the matrix has no inverse matrix if(data.length != data[0].length) { return new double[][]{}; } //Get value of determinant for the matrix double valueOfDeterminant = getValueOfDeterminant(data); if(valueOfDeterminant == 0) { //The matrix doesn't have inversion matrix return new double[][]{}; } //Get inversion of the matrix inputed double[][] inversion = new double[data.length][data[0].length]; for(int i=0; i<inversion.length; i++) { for(int j=0; j<inversion[0].length; j++) { double num = getValueOfDeterminant(getCofactor(data, i, j)); if( (i + j) % 2 == 0 ) { inversion[j][i] = num / valueOfDeterminant; } else { inversion[j][i] = -1 * num / valueOfDeterminant; } } } return inversion; } 通过伴随阵来求逆矩阵效率不太高，接下来将会尝试用LU分解法来求解逆矩阵。
3. 后记
后面的文章里讲到了 LU分解求线性方程组 Ax=b。很明显，只要将这里的 矩阵 b 替换成
与A同型的单位矩阵E，则该线性方程组的解x就是 矩阵A的逆矩阵了。
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