信号处理(一)

本篇介绍

图像处理离不开采样与重建，本篇就介绍下采样与重建背后的数学逻辑。

一维采样

采样就是将模拟信号用数字信号表示，参考音频的处理流程如下：

image.png

这儿可以看到有滤波器的出现，滤波器是为了消除走样，后面会专门介绍。 对于同一个信号，用不同的采样频率采样后的结果可能是完全不一样的，如下图：

image.png

同样是一个正弦曲线，上面的采样率高，结果就和原始图像差不多，而下面的采样率低，重建的图像就完全不一样，这就是走样。在音频中就是会出现噪音，而图像中就会出现摩尔纹。

图像中出现的锯齿形也是走样，对应的修复手段就是滤波。

卷积

先看下移动平均，其实就是在计算函数值的时候，将该点的数值用覆盖该点的一个区间数值和的平均值代替。 参考下图，左边是连续函数，右边是离散函数。

image.png

用公式表示如下： 连续函数的移动平均公式：

image.png

离散函数的移动平均公式：

image.png

对于移动平均，每个点的权重是一样的，如果需要让每个点权重支持自定义，这时候就需要使用卷积。

离散卷积

序列a[i]用b[i]进行卷积的结果就是序列(a★b)[i]。用公式表示就是：

image.png

这儿可以插一个讨论，为什么卷积需要有一个反转操作呢？不可以是a[j]b[j]么？从公式上看是没问题的，不过从信号处理角度看，翻转一下更接近实际情况。可以参考下图：

image.png a可以看成是一个随时间变化的信号，b可以看成是一个响应函数，是距离当前时间的响应函数，距离当前时间为0的响应影响是b[0],距离当前时间为n的响应影响是b[n]，也就是a和b的时间轴解读是有差异的。当时间是n时，输入的信号是a[n],此时系统整体的影响是n时刻及以前信号影响的累加，也就是a[0]刻的信号对于n时刻的系统也有影响，影响多大呢？就是b[n]a[0], 为啥是b[n]而不是b[0]呢？因为,而n时刻的信号对n时刻系统的影响就是a[n]b[0], 相应的a[n-1]b[1]等等，这样就形成了现在的卷积公式。

如果再定义卷积的作用范围，也就是半径是r，那么这时候卷积可以如下计算：

image.png

如果将卷机滤波的权重值做一个修改，等于1/(2*r+1)，其余值都是0，那么这时候就变成了移动平均，也叫盒子滤波。

卷积的性质

可以将卷积看成是乘积，满足交换律，结合律，分配律。

image.png

单位脉冲函数

如果序列d[i]，只有i为0时值为1，其余都是0，那么和任何函数进行卷积，结果都是原函数，这时候序列d就是单位脉冲函数

连续卷积

从前面的离散卷积可以自然也可以总结出连续卷积形式：

image.png

某个点的卷积值就可以看成是2个函数乘积结果曲线和坐标轴围成的面积。

image.png

再看下连续函数的盒子函数:

image.png

那f★f的结果如下：

image.png

进行求解就是：

image.png

这个函数就是帐篷函数。

Dirac Delta 函数

等同于离散的单位脉冲函数，连续场景中也有一种函数δ(x)满足单位脉冲性质：

image.png

δ(x) 对于x =0时是一个很大的值，非0时为0，积分为1.这样和任何函数的卷积都是原函数。

image.png

离散和连续卷积

如果用离散表示连续，那么通过采样就可以，如果需要用连续表示离散，那么就需要通过卷积，比如a是离散信号，f是滤波函数，对应的连续函数就是a★f，如下形式：

image.png

参考下图：

image.png

写成推导公式如下：

image.png

可以看到这样操作可以保证i是整数。

2维卷积

前面介绍的是1维卷积，可以简单看下2维离散卷积：

image.png

对应的推导如下：

image.png

某个点的卷积值可以看成是这个点周围区域所有点的带权和。

连续和连续卷积，离散和连续卷积也可以同样写出来：

image.png

某个点的卷积值同样可以解释成该点周围区域所有点的带权和。