【区间求和问题】上下界分析 + 差分应用

题目描述

这是 LeetCode 上的「798. 得分最高的最小轮调」，难度为「困难」。

Tag : 「区间求和问题」、「差分」

给你一个数组

，我们可以将它按一个非负整数

进行轮调，这样可以使数组变为

的形式。此后，任何值小于或等于其索引的项都可以记作一分。

例如，数组为

，我们按

进行轮调后，它将变成

。这将记为

分，因为

[不计分]、

[不计分]、

[计

分]、

[计

分]，

[计

分]。在所有可能的轮调中，返回我们所能得到的最高分数对应的轮调下标

。如果有多个答案，返回满足条件的最小的下标

。

示例 1：

输入：nums = [2,3,1,4,0]

输出：3

解释：
下面列出了每个 k 的得分：
k = 0,  nums = [2,3,1,4,0],    score 2
k = 1,  nums = [3,1,4,0,2],    score 3
k = 2,  nums = [1,4,0,2,3],    score 3
k = 3,  nums = [4,0,2,3,1],    score 4
k = 4,  nums = [0,2,3,1,4],    score 3
所以我们应当选择 k = 3，得分最高。

示例 2：

输入：nums = [1,3,0,2,4]

输出：0

解释：
nums 无论怎么变化总是有 3 分。
所以我们将选择最小的 k，即 0。

提示：

上下界分析 + 差分应用

为了方便，令

为

长度（中文的数据范围是错的，数组长度应该是

，不是

）。

对于给定的

而言，有效的轮调范围为

，即对于任意

而言，可取的下标共有

种。

假定当前下标为

，轮调次数为

，那么轮调后下标为

，当新下标为负数时，相当于

出现在比原数组更“靠后”的位置，此时下标等价于

。

考虑什么情况下

能够得分？

首先新下标的取值范围为

，即有

。由此可分析出

的取值范围为：

即由新下标取值范围可知

的上下界分别为

和

。

同时为了满足得分定义，还有

，进行变形可得：

此时我们有两个关于

的上界

和

，由于

取值范围为

，则有

，由于必须同时满足「合法移动（有效下标）」和「能够得分」，我们仅考虑范围更小（更严格）由

推导而来的上界

即可。

综上，

能够得分的

的取值范围为

。

最后考虑

（均进行加

模

转为正数）什么情况下为合法的连续段：

• 当

时，

为合法连续段；

• 当

时，根据负数下标等价于

，此时

等价于

和

两段。

至此，我们分析出原数组的每个

能够得分的

的取值范围，假定取值范围为

，我们可以对

进行

标记，代表范围为

能够得

分，当处理完所有的

后，找到标记次数最多的位置

即是答案。

标记操作可使用「差分」实现（不了解差分的同学，可以先看前置🧀：差分入门模板题，里面讲解了差分的两个核心操作「区间修改」&「单点查询」），而找标记次数最多的位置可对差分数组求前缀和再进行遍历即可。

代码：

class Solution {
    static int N = 100010;
    static int[] c = new int[N];
    void add(int l, int r) {
        c[l] += 1; c[r + 1] -= 1;
    }
    public int bestRotation(int[] nums) {
        Arrays.fill(c, 0);
        int n = nums.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int a = (i - (n - 1) + n) % n, b = (i - nums[i] + n) % n;
            if (a <= b) {
                add(a, b);
            } else {
                add(0, b);
                add(a, n - 1);
            }
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) c[i] += c[i - 1];
        int ans = 0, k = c[0];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (c[i] > k) {
                k = c[i]; ans = i;
            }
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：

• 空间复杂度：

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.798 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。