考研（大学）数学微分方程（1）

用户9628320

发布于 2022-11-14 17:11:08

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微分方程（2）

第三节可降阶的高阶微分方程

3.1形如

y^{n}=f(x)

的方程

方法：对方程直接左右两边进行不定积分，重复

次。

3.2 形如

f(x,y^{'},y^{''})=0

的方程（缺

型）

方法：（1）.令

\displaystyle y^{'}=\frac{dy}{dx}=p

，则

\displaystyle y^{''}=\frac{dp}{dx}

，所以原方程变为

\displaystyle f(x,p,\frac{dp}{dx})=0

；

（2）.解方程

p=\varphi(x,C_{1})

,，则原方程的解为

\displaystyle y=\int\varphi(x,C_{1})dx+C_{2}

3.3形如

f(y,y^{'}y^{''})=0

的方程（缺

型）

方法：（1）.令

y^{'}=p

，则

\displaystyle y^{''}=\frac{dp}{dx}=p\frac{dp}{dy}

，则方程化为

f(y,p,p\frac{dp}{dy})=0

(2).同理解出

p=\varphi(y,C_{1})

或者

\displaystyle\frac{dy}{\varphi(y,C_{1})}=dx

，两边积分得

\displaystyle\int\frac{dy}{\varphi(y,C_{1})}=x+C_{2}

，进一步求出其通解。

基础题一

6.求

yy^{'}-y^2=1

满足

y(0)=0

的特解.

解：根据

yy^{'}-y^2=1\Leftrightarrow 2yy^{'}-2y^2=2

，即

(y^{2})^{'}-2y^2=2

，则

\displaystyle y^2=(\int2e^{\int-2dx}+C){e^{-\int -2dx}}=(C-e^{-2x})e^{2x}=Ce^{2x}-1

，根据

y(0)=0

，解出

C=1

，所以

y^2=e^{2x}-1

10.求方程

yy^{''}-(y^{'})^{2}=y^2

满足初始条件

y(0)=1,y^{'}(0)=0

的特解

解：首先根据

yy^{''}-(y^{'})^{2}=y^2

,变形为

\displaystyle\frac{yy^{''}-y^{'2}}{y^2}=1

，可以得

(\frac{y^{'}}{y})=1

,解得

\displaystyle\frac{y^{'}}{y}=x+C_{1}

，根据

y(0)=1,y^{'}(0)=0

解得

C_{1}=0

,则有

y^{'}-xy=0

，解得

\displaystyle y=C_{2}e^{-\int-xdx}=C_{2}e^{\frac{x^2}{2}}

，由题意

y(0)=1

,解得

C_{2}=1

，所以特解

\displaystyle y=e^{\frac{x^2}{2}}

基础题二

7.求微分方程

(2x+3)y^{''}=4y^{'}

的通解.

解：根据前面，令

y^{'}=p

,则原方程化为

\displaystyle\frac{dp}{p}=\frac{4}{2x+3}dx

,两边积分得

\ln p=2\ln(2x+3)+\ln C_{1}

，即

y^{'}=C_{1}(2x+3)^2

,则

\displaystyle y=\int C_{1}(2x+3)^2dx=\frac{4}{3}C_{1}x^3+6C_{1}x^2+9C_{1}x+C_{2}

C_{1},C_{2}

为任意常数.

8.求方程

yy^{''}=1+y^{'2}

满足初始条件

y(0)=1,y^{'}(0)=0

的特解.

解：首先令

y^{'}=p

，则原方程化为

\displaystyle yp\frac{dp}{dy}=1+p^2

,移项得

\displaystyle\frac{2pdp}{1+p^2}=\frac{2dy}{y}

,两边积分得

\ln (1+p^2)=2\ln y+\ln C_{1}

，即

1+p^2=C_{1}y^2

,根据

y(0)=1,y^{'}(0)=0

，解得

y^{'}=\pm\sqrt{y^2-1}

，同理两边积分

\ln|y+\sqrt{y^2-1}|+C_{2}=x

,根据条件，解得

C_{2}=0

，所以特解为

\ln|y+\sqrt{y^2-1}|=\pm x

前两题是关于常微分方程的特殊方法，一个是凑微分，另外一个利用导数的除法公式；化成常见的方程，例如一阶齐次线性微分方程和一阶非齐次线性微分方程，再利用初始条件，得出解；后面两题是关于缺

型和

型的真正解法，注意常见的不定积分，一步一步求解即可。

作者：小熊

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