考研（大学）数学微分方程（3）

用户9628320

发布于 2022-11-14 17:11:54

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微分方程（3）

第四节高阶微分方程

4.1 高阶齐次线性微分方程

4.1.1 高阶齐次微分方程的基本概念

1.n阶齐次线性微分方程的定义

例如

y^{n}+a_{1}(x)y^{n-1}+\dotsb+a_{n-1}(x)y^{'}+a_{n}(x)y=0 \qquad (1)

称为n阶齐次线性微分方程

2.n阶非齐次线性微分方程的定义

例如

y^{n}+a_{1}(x)y^{n-1}+\dotsb+a_{n-1}(x)y^{'}+a_{n}(x)y=f(x) \qquad (2)

称为n阶非齐次线性微分方程，且当

f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)

，则原方程可以拆分成

y^{n}+a_{1}(x)y^{n-1}+\dotsb+a_{n-1}(x)y^{'}+a_{n}(x)y=f_{1}(x) \qquad (2.1)

y^{n}+a_{1}(x)y^{n-1}+\dotsb+a_{n-1}(x)y^{'}+a_{n}(x)y=f_{2}(x) \qquad (2.2)

4.1.2 高阶微分线性微分方程解的结构

1.线性关系：假设

\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x),\dotsb,\varphi_{n}(x)

是其的一组解。则

k_{1}\varphi_{1}(x)+k_{2}\varphi_{2}(x)+\dotsb+k_{n}\varphi_{n}(x)

也是方程

(1)

的一组解

2.假设方程

\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x)

分别是

(1),(2)

的两个解，则

\varphi_{1}(x)+\varphi_{2}(x)

也是

(2)

的一个解

3.如果有

\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x)

为

(2)

的解，则

\varphi_{1}(x)-\varphi_{2}(x)

为

(1)

的解

4.如果有

\varphi_{1}(x)

、

\varphi_{2}(x)

分别是

(2.1),(2.2)

的两个解，则

\varphi_{1}(x)+\varphi_{2}(x)

也是

(2)

的解

5.假设

\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x),\dotsb,\varphi_{n}(x)

是

(2)

的一组解，则

k_{1}\varphi_{1}(x)+k_{2}\varphi_{2}(x)+\dotsb+k_{n}\varphi_{n}(x)

是

(2)

的一个解的充分必要条件是

k_{1}+k_{2}+\dotsb+k_{n}=1

6.假设

\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x),\dotsb,\varphi_{n}(x)

是

(2)

的一组解，则

k_{1}\varphi_{1}(x)+k_{2}\varphi_{2}(x)+\dotsb+k_{n}\varphi_{n}(x)

是

(1)

的一个解的充分必要条件是

k_{1}+k_{2}+\dotsb+k_{n}=0

7.设

\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x),\dotsb,\varphi_{n}(x)

是

(2)

的n个线性无关的解，则

k_{1}\varphi_{1}(x)+k_{2}\varphi_{2}(x)+\dotsb+k_{n}\varphi_{n}(x)

也是

(1)

的通解

8.若

\varphi_{1}(x),\varphi_{2}(x),\dotsb,\varphi_{n}(x)

是

(1)

的n组线性无关解，且

\varphi_{0}(x)

是

(2)

的一个题解，则

k_{1}\varphi_{1}(x)+k_{2}\varphi_{2}(x)+\dotsb+k_{n}\varphi_{n}(x)+\varphi_{0}(x)

是

(2)

的一个解

4.1.3 高阶常系数微分方程

1.二阶常系数齐次微分方程的解法

方程形式：

y^{''}+py^{'}+qy=0

(其中

p,q

均是常数)

（1）求解方程

y^{''}+py^{'}+qy=0

的特征方程

\lambda^2+p\lambda+q=0

;

（2）判断方程的判别式，根据形式有三种；

1.当

\Delta=p^2-4q>0

时，即两特征根

\lambda_{1}\neq\lambda_{2}

,则原方程得通解为

y=C_{1}e^{\lambda_{1}}+C_{2}e^{\lambda_{2}}

2.当

\Delta=p^2-4q=0

时，即特征方程带有两个相等的实根

\lambda_{1}=\lambda_{2}

，则原方程通解为

y=(C_{1}+C_{2}x)e^{\lambda_{1x}}

3.当

\Delta=p^2-4q<0

时，则特征方程有两个共轭虚根，

\lambda_{1,2}=\alpha\pm\cos \beta

,则原方程的通解为

y=e^{\alpha x}(C_{1}\cos \beta x+C_{2}\sin \beta x)

1 求方程

y^{''}-y^{}-6y=0

的通解

解：由原方程可知，其特征方程为

\lambda^2-\lambda-6=0

,解得特征值分别为

\lambda_{1}=-3,\lambda_{2}=2

,所以原方程的通解为

y=C_{1}e^{-3x}+C_{2}e^{2x}

2 求方程

y^{''}-4y^{'}+4y=0

的通解

解：同理根据原方程可知，特征方程为

\lambda^2-4\lambda+4=0

,特征值是两个重根，即

\lambda_{1}=\lambda_{2}=2

,所以原方程的通解为

y=(C_{1}+C_{2}x)e^{2x}

3 求

y^{''}-2y^{'}+2y=0

的通解

解：根据方程知特征方程为

\lambda^2-2\lambda+2=0

,解得特征值为

\lambda_{1,2}=1\pm i

,则原方程的通解为

y=e^{x}(C_{1}\sin x+C_{2}\cos x)

2.二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

方程形式：

y^{''}+py^{'}+q=f(x)

（其中

q,p

均是常数），按照

f(x)

的不同可以分一下几种情况

（1）

f(x)=P_{n}(x)e^{kx}

case 1:当

是其非特征值，令

y_{0}=(a_{1}+a_{2x}+\dotsb+a_{n}x)e^{kx}=Q(x)e^{kx}

当

y^{''}-y^{'}-y=(x+1)e^{x}

,令

y_{n}=(ax+b)e^{x}

;

case2：假如

与其中一个特征值相同，

y_{0}=x(a_{0}+a_{1}x+\dotsb+a_{n}x^n)x=xQ(x)e^{kx}$,对于$y^{''}-y^{'}-2y=0

，

可以设

y_{0}=x(ax+b)e^{2x}=(ax^2+bx)e^{2x}

;

case3：如果

与两个特征值都相同，则设

y_{0}=x^2(a_{0+}a_{1}x+\dotsb+a_{n}x^n)=x^2Q_{x}e^{kx}

,例如：

y^{''}-4y^{'}+4y=(2x-1)e^{2x}

则可以设

y_{0}=x^2(ax+b)e^{2x}=(ax^3+bx^2)e^{2x}

(2)

f(x)=e^{\alpha}(P_{l}\cos \beta x+P_{s}\sin \beta x)

令

n=\max\{l,s\}

case1：如果

\alpha+\beta i

不是特征值，则令

y_{0}(x)=e^{\alpha x}[Q_{n}^{(1)}(x)\cos \beta x+Q_{n}^{(2)}(x)\sin \beta x]

;

case2 ：若

\alpha+\beta i

是其特征值，则令

_{0}(x)=xe^{\alpha x}[Q_{n}^{(1)}(x)\cos \beta x+Q_{n}^{(2)}(x)\sin \beta x]

;

4 设

y^{''}-2y^{'}+2y=xe^{x}\cos x

,求方程的特解形式

解：根据特征方程知

\lambda^2-2\lambda+2=0

,解得

\lambda_{1,2}=1\pm i

,其中

\alpha=1,\beta=1

,且

\alpha+\beta i=1+i

是其特征值，所以特解为

y_{0}=xe^{x}[(ax+b)\sin x+(cx+d)\cos x]

4.2 欧拉方程（主要是数一）

4.2.1 欧拉方程的定义

方程形式：

x^{n}y^{(n)}+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\dotsb+a_{1}xy^{'}=f(x)

，其中

a_{n-1},\dotsb,a_{1}

均是常数

4.2.2 方程得解法

利用换元法，令

x=e^{t}

,则有

xy^{'}=Dy=\dfrac{dy}{dt}

xy^{''}=D(D-1)y=\dfrac{d^{2}y}{dt^2}-\dfrac{dy}{dt}

\dotsb,x^{n}y^{(n)}=D(D-1)\dotsb(D-n+1)y

，带入原方程可以化简为高阶常系数微分方程。

基础篇

1 求微分方程

y^{''}+4y^{'}+4y=e^{ax}

的通解

解：可知特征方程为

\lambda^2+4\lambda+4=0

,解得特征值分别为

\lambda_{1}=\lambda_{2}=-2

,所以对应的齐次线性微分方程的通解为：

y=(C_{1}+C_{2}x)e^{-2x}

(

C_{1},C_{2}

均是常数），由于在方程的右边含有参数，故对

进行讨论

（1）当

a\neq-2

时，由于

不是特征值，所以直接设原方程的特解为

y_{0}=Ae^{ax}

,带入原方程求得

A=\dfrac{1}{(a+2)^2}

所以原方程的通解为

y=(C_{1}+C_{2}x)e^{-2x}+\dfrac{1}{(a+2)^2}e^{ax}

(

C_{1},C_{2}

均是常数）；

（2）当

a=-2

时，因为

a=-2

是其特征方程的二重特征值，所以设特解

y_{0}(x)=Ax^2e^{-2x}

,带入原方程，得

A=\dfrac{1}{2}

所以原方程的通解为

y=(C_{1}+C_{2}x)e^{-2x}+\dfrac{1}{2}x^2e^{-2x}

(

C_{1},C_{2}

均是常数)

2 求微分方程

y^{''}+y=x^2+3+\cos x

的通解

解：首先特征方程可知

\lambda^2+1=0

,解得特征值分别为

\lambda_{1}=-i,\lambda_{2}=i

,所以齐次方程得通解为

y=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x

对原方程进行拆分，

y^{''}+y=x^2+3

,可知特解为

y_{1}=x^2+1

,而对于

y^{''}+y=\cos x

,设特解为

y_{2}=Ax\sin x

,带入解得

A=\dfrac{1}{2}

,所以特解为

y_{0}=x^2+1+\dfrac{1}{2}x\sin x

,故原方程的通解为

y=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x+x^2+1+\dfrac{1}{2}x\sin x

作者：小熊

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