行列式及其运算和性质

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

行列式

特别注意，行列式虽然表达为一系列数字的数表，但是其本质式一个数，这个跟矩阵有本质的区别.

二阶行列式

D = ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ = a 11 a 22 − a 12 a 21 D= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} D=∣∣∣∣​a11​a21​​a12​a22​​∣∣∣∣​=a11​a22​−a12​a21​

三阶行列式

D = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 D= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\\ \space\\ =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33} D=∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​ =a11​a22​a33​+a12​a23​a31​+a13​a21​a32​−a13​a22​a31​−a11​a23​a32​−a12​a21​a33​

全排列与逆序数

全排列(排列)：把n个元数排成一排，就叫做这n个数全排列(也称排列)

标准排列：先规定n个元素的一个先后次序标准，称这个排列为标准排列

逆序数：当排列中的两个元素的先后顺序与标准排列的先后顺序不同时，则元素有1个逆序，一个排列所有逆序之和则为逆序数

奇排列:逆序数为奇数的排列称为奇排列

偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列

n阶行列式

n阶行列式：

D n = d e t ( a i j ) = ∣ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ∣ D_n= det(a_{ij})= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}\\ …&…&…&…\\ a_{n1}&a_{n2}&…&a_{nn} \end{vmatrix}\\ Dn​=det(aij​)=∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​...an1​​a12​a22​...an2​​............​a1n​a2n​...ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣​

= ∑ ( j 1 , j 2 , j 3 . . . j n ) ( − 1 ) t ( j 1 , j 2 , j 3 . . . j n ) a 1 j a 2 j a 3 j . . . a n j =\sum_{(j_1,j_2,j_3…j_n)}(-1)^{t(j_1,j_2,j_3…j_n)}a_{1j}a_{2j}a_{3j}…a_{nj} =(j1​,j2​,j3​...jn​)∑​(−1)t(j1​,j2​,j3​...jn​)a1j​a2j​a3j​...anj​ 其中： t ( j 1 , j 2 , j 3 . . . j n ) t(j_1,j_2,j_3…j_n) t(j1​,j2​,j3​...jn​)为 ( j 1 , j 2 , j 3 . . . j n ) (j_1,j_2,j_3…j_n) (j1​,j2​,j3​...jn​)的逆序数， ∑ ( j 1 , j 2 , j 3 . . . j n ) \displaystyle\sum_{(j_1,j_2,j_3…j_n)} (j1​,j2​,j3​...jn​)∑​表示所有可能的n级排列之和 。行列式 D D D可以简记为 d e t ( a i j ) det(a_{ij}) det(aij​),其中 a i j a_{ij} aij​表示行列式 D D D的 ( i , j ) (i,j) (i,j)元。

行列式的性质

性质1：行列式与其转置行列式相等。

例如： D = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ D= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\\ D=∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​ D T = ∣ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ∣ D^T= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{21}&a_{31}\\ a_{12}&a_{22}&a_{32}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{vmatrix}\\ DT=∣∣∣∣∣∣​a11​a12​a13​​a21​a22​a23​​a31​a32​a33​​∣∣∣∣∣∣​ 性质2：互换行列式的两行(列)，行列式变号。

推论：行列式有两行(列)相同，则行列式等于0

证明：根据性质2，将两个相同行(列)互换，则有：

D = − D D=-D D=−D 故： D = 0 D=0 D=0

性质3：行列式中的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 k k k,等于用数 k k k乘以此行列式。

例如:

D = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ k ∗ D = ∣ a 11 a 12 a 13 k a 21 k a 22 k a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = ∣ a 11 k a 12 a 13 a 21 k a 22 a 23 a 31 k a 32 a 33 ∣ D= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\\ k*D= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ ka_{21}&ka_{22}&ka_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11}&ka_{12}&a_{13}\\ a_{21}&ka_{22}&a_{23}\\ a_{31}&ka_{32}&a_{33} \end{vmatrix} D=∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​k∗D=∣∣∣∣∣∣​a11​ka21​a31​​a12​ka22​a32​​a13​ka23​a33​​∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​​ka12​ka22​ka32​​a13​a23​a33​​∣∣∣∣∣∣​

性质4:如果行列式中又两行(列)的元素成比例,则行列式等于0

性质5:如果行列式的某行(列)是两个数之和,如下: D = ∣ a 11 a 12 . . . a 1 i + a 1 i ′ . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 i + a 2 i ′ . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n i + a n i ′ . . . a n n ∣ D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1i}+a’_{1i} & … & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2i}+a’_{2i} & … & a_{2n}\\ …&…&…&…&…&…\\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{ni}+a’_{ni} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix} D=∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​...an1​​a12​a22​...an2​​............​a1i​+a1i′​a2i​+a2i′​...ani​+ani′​​............​a1n​a2n​...ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣​ 则 D D D等于一下两个行列式之和: D = ∣ a 11 a 12 . . . a 1 i . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 i . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n i . . . a n n ∣ + ∣ a 11 a 12 . . . a 1 i ′ . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 i ′ . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n i ′ . . . a n n ∣ D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & … & a_{1i} & … & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2i} & … & a_{2n}\\ …&…&…&…&…&…\\ a_{n1} & a_{n2} & … & a_{ni} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & … & a’_{1i} & … & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & … & a’_{2i} & … & a_{2n}\\ …&…&…&…&…&…\\ a_{n1} & a_{n2} & … & a’_{ni} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix} D=∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​...an1​​a12​a22​...an2​​............​a1i​a2i​...ani​​............​a1n​a2n​...ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣​+∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​...an1​​a12​a22​...an2​​............​a1i′​a2i′​...ani′​​............​a1n​a2n​...ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣​

性质6:将行列式的某一行(列)乘以同一数,然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变

∣ a 11 . . . a 1 i . . . a 1 j . . . a 1 n a 21 . . . a 2 i . . . a 2 j . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 . . . a n i . . . a n j . . . a n n ∣ = ∣ a 11 . . . a 1 i + k a 1 j . . . a 1 j . . . a 1 n a 21 . . . a 2 i + k a 2 j . . . a 2 j . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 . . . a n i + k a 3 j . . . a n j . . . a n n ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & … & a_{1i} & … & a_{1j} & … & a_{1n}\\ a_{21} & … & a_{2i} & … & a_{2j} & … & a_{2n}\\ …&…&…&…&…&…&…\\ a_{n1} & … & a_{ni} & … & a_{nj} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11} & … & a_{1i}+ka_{1j} & … & a_{1j} & … & a_{1n}\\ a_{21} & … & a_{2i}+ka_{2j} & … & a_{2j} & … & a_{2n}\\ …&…&…&…&…&…&…\\ a_{n1} & … & a_{ni}+ka_{3j} & … & a_{nj} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​...an1​​............​a1i​a2i​...ani​​............​a1j​a2j​...anj​​............​a1n​a2n​...ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​...an1​​............​a1i​+ka1j​a2i​+ka2j​...ani​+ka3j​​............​a1j​a2j​...anj​​............​a1n​a2n​...ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣​ 注意:性质6特别重要,基本所有的行列式变换都可以用改性质求得

克莱姆法则

如果有n元一次非齐次方程组:

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2 n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + . . . + a 3 n x n = b 3 . . . . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + . . . + a n n x n = b n (1) \tag{1} \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+…+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+…+a_{2n}x_n=b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+…+a_{3n}x_n=b_3\\ \kern{8em}……\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+a_{n3}x_3+…+a_{nn}x_n=b_n\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​a11​x1​+a12​x2​+a13​x3​+...+a1n​xn​=b1​a21​x1​+a22​x2​+a23​x3​+...+a2n​xn​=b2​a31​x1​+a32​x2​+a33​x3​+...+a3n​xn​=b3​......an1​x1​+an2​x2​+an3​x3​+...+ann​xn​=bn​​(1) 如果线性方程组 ( 1 ) (1) (1)的系数行列式:

D = ∣ a 11 a 12 a 13 . . . a 1 n a 21 a 22 a 23 . . . a 2 n a 31 a 32 a 33 . . . a 3 n . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 a n 3 . . . a n n ∣ D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & … & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & … & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & … & a_{3n}\\ …&…&…&…&…\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix} D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​...an1​​a12​a22​a32​...an2​​a13​a23​a33​...an3​​...............​a1n​a2n​a3n​...ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​ 如果 D D D不等于0,那么方程组有唯一解:

x 1 = D 1 D x 2 = D 2 D x 3 = D 3 D . . . . . . x n = D n D x_1=\dfrac{D_1}{D} \kern{1em} x_2=\dfrac{D_2}{D} \kern{1em} x_3=\dfrac{D_3}{D} \kern{1em} …… \kern{1em} x_n=\dfrac{D_n}{D} x1​=DD1​​x2​=DD2​​x3​=DD3​​......xn​=DDn​​ 其中: D 1 = ∣ b 1 a 12 a 13 . . . a 1 n b 2 a 22 a 23 . . . a 2 n b 3 a 32 a 33 . . . a 3 n . . . . . . . . . . . . . . . b n a n 2 a n 3 . . . a n n ∣ D 2 = ∣ a 11 b 1 a 13 . . . a 1 n a 21 b 2 a 23 . . . a 2 n a 31 b 3 a 33 . . . a 3 n . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 b n a n 3 . . . a n n ∣ . . . . . . D j = ∣ a 11 a 12 a 13 a 1 ( j − 1 ) b 1 a 1 ( j + 1 ) . . . a 1 n a 21 a 22 a 23 a 2 ( j − 1 ) b 2 a 2 ( j + 1 ) . . . a 2 n a 31 a 32 a 33 a 3 ( j − 1 ) b 3 a 3 ( j + 1 ) . . . a 3 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 a n 3 a n ( j − 1 ) b n a n ( j + 1 ) . . . a n n ∣ . . . . . . D n = ∣ a 11 a 12 a 13 . . . b 1 a 21 a 22 a 23 . . . b 2 a 31 a 32 a 33 . . . b 3 . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 a n 3 . . . b n ∣ D_1= \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} & … & a_{1n}\\ b_2 & a_{22} & a_{23} & … & a_{2n}\\ b_3 & a_{32} & a_{33} & … & a_{3n}\\ …&…&…&…&…\\ b_n & a_{n2} & a_{n3} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ \space\\ D_2= \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} & … & a_{1n}\\ a_{21} & b_2 & a_{23} & … & a_{2n}\\ a_{31} & b_3 & a_{33} & … & a_{3n}\\ …&…&…&…&…\\ a_{n1} & b_n & a_{n3} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ \kern{3em}……\\ D_j= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{1(j-1)} & b_1 & a_{1(j+1)} & … & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{2(j-1)} & b_2 & a_{2(j+1)} & … & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{3(j-1)} & b_3 & a_{3(j+1)} & … & a_{3n}\\ …&…&…&…&…&…&…&…\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & a_{n(j-1)} & b_n & a_{n(j+1)} & … & a_{nn}\\ \end{vmatrix}\\ \kern{3em}\\ ……\\ D_n= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & … & b_1\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & … & b_2\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & … & b_3\\ …&…&…&…&…\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & … & b_n\\ \end{vmatrix} D1​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​b1​b2​b3​...bn​​a12​a22​a32​...an2​​a13​a23​a33​...an3​​...............​a1n​a2n​a3n​...ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​ D2​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​...an1​​b1​b2​b3​...bn​​a13​a23​a33​...an3​​...............​a1n​a2n​a3n​...ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​......Dj​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​...an1​​a12​a22​a32​...an2​​a13​a23​a33​...an3​​a1(j−1)​a2(j−1)​a3(j−1)​...an(j−1)​​b1​b2​b3​...bn​​a1(j+1)​a2(j+1)​a3(j+1)​...an(j+1)​​...............​a1n​a2n​a3n​...ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​......Dn​=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​a31​...an1​​a12​a22​a32​...an2​​a13​a23​a33​...an3​​...............​b1​b2​b3​...bn​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​

行列式按行展开

余子式 : 去掉 n n n阶行列式中 a i j a_{ij} aij​元素的行( i i i行)于列( j j j列),剩下的元素组成的新的行列式,则为元 a i j a_{ij} aij​的余子式,记做 M i j M_{ij} Mij​,记 A i j = ( − 1 ) i + j M i j A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} Aij​=(−1)i+jMij​ 为元 a i j a_{ij} aij​的代数余子式

按 i i i行(列)展开 D n = d e t ( a i j ) = ∣ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ∣ = ∑ j = 1 n a i j A i j i ∈ ( 1 , 2 , . . . , n ) D_n= det(a_{ij})= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}\\ …&…&…&…\\ a_{n1}&a_{n2}&…&a_{nn} \end{vmatrix}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij} \kern{2em} i \isin (1,2,…,n) Dn​=det(aij​)=∣∣∣∣∣∣∣∣​a11​a21​...an1​​a12​a22​...an2​​............​a1n​a2n​...ann​​∣∣∣∣∣∣∣∣​=j=1∑n​aij​Aij​i∈(1,2,...,n)

拉普拉斯展开

行列式选中的某 k k k行(列)的所有 k k k阶子式,与其代数余子式的乘积之和等于行列式本身

范德蒙德行列式

形如: D = ∣ 1 1 . . . 1 x 1 x 2 . . . x n x 1 2 x 2 2 . . . x n 2 . . . . . . . . . . . . x 1 n − 1 x 2 n − 1 . . . x n n − 1 ∣ = Π n ≥ i ≥ j ≥ 1 ( x i − x j ) D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & … & 1\\ x_1 & x_2 & … & x_n\\ x_1^2 & x_2^2 & … & x_n^2\\ … & … & … & …\\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & … & x_n^{n-1}\\ \end{vmatrix}=\Pi_{n \ge i \ge j \ge 1}(x_i-x_j) D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​1x1​x12​...x1n−1​​1x2​x22​...x2n−1​​...............​1xn​xn2​...xnn−1​​∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣​=Πn≥i≥j≥1​(xi​−xj​)

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