每日一练5.30

用户9628320

发布于 2022-11-23 14:12:16

4010

发布于 2022-11-23 14:12:16

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

接力题典 1800 重积分

第一节二重积分

重要的知识点：

（1）二重积分的极限表示形式，设

D=\{(x,y)|0\leq x\leq1 ,0\leq y\leq 1\}

,有

\underset{n\rightarrow \infty\\ m\rightarrow \infty}{\lim}\frac{1}{mn}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}f(\frac{i}{n},\frac{j}{m})=\iint_{D}f(x,y)dxdy

(2)二重积分中值定理：假设D为平面一个区域，而

f(x,y)

在D上连续，A表示其区域面积，则

必然存在

\xi,\eta\in D

,使得

\iint\limits_{D}{f(x,y)}dxdy=f(\xi,\eta)A

(3)二重积分的计算方法（直角坐标法）：严格来分就是

型和

型，

型：假设

D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,\varphi_{1}(x)\leq y\leq \varphi_{2}(x)\}

,则

\iint\limits_{D}{f(x,y)}d\sigma=\int_{a}^{b}dx\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)}f(x.y)dy

型：假设

D=\{(x,y)|a\leq y\leq b,\varphi_{1}(y)\leq x\leq \varphi_{2}(y)\}

,则

\iint\limits_{D}{f(x,y)}d\sigma=\int_{a}^{b}dy\int_{\varphi_{1}(y))}^{\varphi_{2}(y)}f(x,y)dx

(4)二重积分的极坐标法：特征：（1）被积函数

f(x,y)

含有

x^2+y^2

，（2）积分区域含有

x^2+y^2

方法：令

\left\{ \right._{y=r\sin \theta}^{x=r\cos \theta}

,原区域

表示为

D=\{(r,\theta)|\alpha\leq\theta\leq\beta,r_{1}(\theta)\leq r\leq r_{2}(\theta)\}

则

\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=\int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{r_{1}(\theta)}^{r_{2}(\theta)}f(r\cos \theta,r\sin \theta)rdr

基础题

2.求

\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{n}{(n+i)(n^2+j^2)}

解：原式

=\frac{1}{n^2}\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{(1+\frac{i}{n})(1+(\frac{j}{n})^2)}\\=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}\int_{0}^{1}\frac{1}{1+y^2}dy\\=\ln (1+x)|_{0}^{1}\arctan y|_{0}^{1}=\ln 2\arctan 1=\frac{\pi\ln 2}{4}

3.设

D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq t^2\}(t>0)

,则

\underset{t\rightarrow 0}{\lim}\frac{\iint_\limits{D}e^{-x^2}\cos xydxdy}{t^2}=

解：由积分中值定理知，存在

\xi,\eta\in(0,t)

，使得

\iint_\limits{_D}e^{-x^2}\cos xydxdy=\pi t^2 e^{-\xi^2}\cos \xi \eta

，

所以原式

=\underset{t\rightarrow 0}{\lim}\frac{\pi t^2 e^{-\xi^2 \cos \xi\eta}}{t^2}=\pi e^{-\xi^2}\cos \xi\eta

，而

t\rightarrow 0

，有

\xi ,\eta\rightarrow 0

，则原式

=\pi

13 计算下列二重积分

（1）.设区域

D=\{(x,y)|0\leq x\leq 1,0\leq y \leq 1\}

,求

\iint_\limits{D}\sqrt{|y-x^2|}dxdy

（2）.

\iint_\limits{D}\max\{xy,1\}dxdy

，其中

D=\{(x,y)|0\leq x\leq 2,0\leq y\leq 2\}

解：（1）.显然将区域划分为两块，

D_{1}=\{(x,y)|0\leq x \leq 1,0\leq y\leq x^2\}

D_{2}=\{(x,y)|0\leq x\leq 1,x^2\leq y\leq 1\}

，

则原式

=\iint_\limits{D_{1}}\sqrt{x^2-y}dxdy+\iint_\limits{D_{2}}\sqrt{y-x^2}dxdy

，

而

\iint_\limits{D_{1}}\sqrt{x^2-y}dxdy=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x^2}\sqrt{x^2-y}dy=-\frac{2}{3}\int_{0}^{1}(x^2-y)^{\frac{3}{2}}|_{0}^{x^2}dx=\frac{2}{3}\int_{0}^{1}x^3dx=\frac{1}{6}

，

\iint_\limits{D_{2}}\sqrt{y-x^2}dxdy=\int_{0}^{1}dx\int_{x^2}^{1}\sqrt{y-x^2}dy=\frac{2}{3}\int_{0}^{1}(y-x^2)^{\frac{3}{2}}|_{x^2}^{1}dx\\=\frac{2}{3}\int_{0}^{1}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}dx(x=\sin t)=\frac{2}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{4}tdt=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}

所以原式

=\frac{1}{6}+\frac{\pi}{8}

(2).同上题，设

D_{0}=\{(x,y)|\frac{1}{2}\leq x\leq 2,\frac{1}{x}\leq y\leq 2\}

,原式

=\iint_\limits{D_{0}}xydxdy+\iint_\limits{D \ |D_{0}}dxdy

而

\iint_\limits{D_{0}}xydxdy=\int_{\frac{1}{2}}^{2}xdx\int_{\frac{1}{x}}^{2}ydy=\int_{\frac{1}{2}}^{2}x\frac{1}{2}y^2|_{\frac{1}{x}}^{2}=\frac{15}{4}-\ln 2

，

\iint_\limits{D|D_{0}}dxdy=4-\int_{\frac{1}{2}}^{2}dx\int_{\frac{1}{x}}^{2}dy=4-\int_{\frac{1}{2}}^{2}(2-\frac{1}{x})dx=1+2\ln 2

所以原式

=\frac{19}{4}+\ln 2

14 设

D=\{(x,y)|0\leq x \leq 1,0\leq y\leq\sqrt{1-x^2}\}

，求

\iint_\limits{D}|x-y|dxdy

解：利用极坐标，

\cases{_{y=\sin \theta}^{x=\cos \theta}}

则原式

=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_{0}^{1}r^2(\cos \theta-\sin \theta)dr+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{1}r^2(\sin \theta-\cos \theta)\\=\frac{\sqrt{2}}{3}\int_{\frac{\pi}{4}}\cos (\theta+\frac{\pi}{4})d\theta+\frac{\sqrt{2}}{3}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\sin(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{2\sqrt{2}-2}{3}

今天的题目就到这里了，主要利用积分的计算方法，直角坐标和极坐标，注意应用的条件，一般带有绝对值的函数求

二重积分，注意区间的划分。其次注意与积分中值定理的结合求极限。还有一个就是二重积分的定义问题。有问题欢迎

留言，谢谢大家的支持，

作者：小熊

知乎平台：baby

微信平台：机械灰灰

写作日期：5.30

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自微信公众号。

原始发表：2021-05-31，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

本文分享自灰灰的数学与机械世界微信公众号，前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

登录后参与评论

0 条评论

热度