大学生非数竞赛专题四（6）

用户9628320

发布于 2022-11-23 14:24:41

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非数专题四多元函数积分学（6）

4.6 格林公式的应用

4.17 （全国大学生2012年决赛题）

设连续可微函数

z=z(x,y)

由方程

F(xz-y,x-yz)=0

(其中

F(u,v)

有连续的偏导数)唯一决定，

为单位的正向圆周，试求

\displaystyle I=\oint_{L}(xz^2+2yz)dy-(2xz+yz^2)dx

【解析】：记

f(x,y,z)=F(xz-y,x-yz)

，利用隐函数方程求偏导数公式有

\dfrac{\partial z}{\partial x}-\dfrac{f^{'}_{x}}{f^{'}_{z}}=-\dfrac{zF^{'}_u+F^{'}_{v}}{xF^{'}_{u}-yF^{'}_{v}}

，

\dfrac{\partial z}{\partial y}-\dfrac{f^{'}_{y}}{f^{'}_{z}}=-\dfrac{-F^{'}_u-zF^{'}_{v}}{xF^{'}_{u}-yF^{'}_{v}}

记

P=-(2xz+yz^2)

，

Q=xz^2+2yz

，单位圆包裹的区域为

，利用格林公式有

\begin{align*}I&=\iint_{D}(Q^{'}_{}x-P^{'}_{y})dxdy=\iint_{D}[(z^2+2xz\frac{\partial z}{\partial x}+2y\frac{\partial z}{\partial x})+(2x\frac{\partial z}{\partial y}+z^2+2yz\frac{\partial z}{\partial y})]dxdy\\&=\iint_{D}(2z^2-2xz\frac{zF^{'}_u+F^{'}_{v}}{xF^{'}_{u}-yF^{'}_{v}}-2y\frac{zF^{'}_u+F^{'}_{v}}{xF^{'}_{u}-yF^{'}_{v}}+2x\frac{F^{'}_u+zF^{'}_{v}}{xF^{'}_{u}-yF^{'}_{v}}+2yz\frac{F^{'}_u+zF^{'}_{v}}{xF^{'}_{u}-yF^{'}_{v}})dxdy\\&=\iint_{D}(2z^2+2-2z^2)dxdx=2\iint_{D}dxdy=2\pi\end{align*}

4.18 （江苏省2006年数学竞赛题）

已知

\Gamma

是

y=a\sin x(a > 0)

上从

(0,0)

到

(\pi,0)

的一段曲线，求当曲线积分

\displaystyle \int_{\Gamma}(x^2+y)dx+(2xy+e^{y^2})dy

取得最大值时，

为多少？

【解析】：设曲线

\Gamma

与坐标轴左右交点分别为

0,A

，其围成区域为

，在区域

内应用格林公式，记

P=x^2+y

，

Q=2xy+e^{y^2}

，则有

\begin{align*}\int_{\Gamma+\vec{AO}}Pdx+Qdy&=-\iint_{D}(Q^{'}_{x}-P^{'}_{y})dxdy=-\iint_{D}(2y-1)dxdy\\&=\int_{0}^{\pi}dx\int_{0}^{a\sin x}(1-2y)dy=a\int_{0}^{\pi}\sin xdx-a^2\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos 2x}{2}dx\\&=2z-\frac{\pi}{2}a^2\end{align*}

\begin{align*}I&=\int_{\Gamma}Pdx+Qdy=2z-\dfrac{a^2}{2}\pi-\int_{\vec{AO}}Pdx+Qdy\\&=2a-\dfrac{a^2}{2}\pi+\int_{0}^{\pi}x^2dx=2a-\dfrac{a^2}{2}\pi+\dfrac{1}{3}\pi^3\end{align*}

求导，

\dfrac{dI}{da}=2-a\pi=0

，得驻点

a=\dfrac{2}{\pi}

，且

\dfrac{d^2I}{da^2}=-\pi < 0

，所以

a=\dfrac{2}{\pi}

为其极大值。

4.19 （江苏省2017年竞赛题

设

\Gamma

为圆

x^2+y^2=4

，将对弧长的曲线积分

\displaystyle \int_{\Gamma}\frac{x^2+y(y-1)}{x^2+(y-1)^2}ds

化为对坐标的曲线积分，并求该曲线积分的值。

【解析】：圆

\Gamma

的参数方程为

x=2\cos t

，

y=2\sin t

，圆的切向量为

(x^{'}(t),y^{'}(t))=(-2\sin t,2\cos t)=(-y,x)

，所以

\Gamma

的正向切向量的方向余弦为

(\cos \alpha,\cos \beta)=(-\dfrac{y}{2},\dfrac{x}{2})

，则

\displaystyle \text{原式}=2\int_{\Gamma^{+}}\dfrac{x\cdot \cos \beta-(y-1)\cdot \cos \alpha }{x^2+(y-1)^2}ds=2\int_{\Gamma}\dfrac{xdy-(y-1)dx}{x^2+(y-1)^2}

记

P=\dfrac{-(y-1)}{x^2+(y-1)^2}

，

Q=\dfrac{x}{x^2+(y-1)^2}

，在曲线内部取一小圆

\Gamma_{\xi}

：

x^2+(y-1)^2=\xi^2

，且为逆时针方向，记

\Gamma,\Gamma_{\xi}

包围的区域为

，由于

Q^{'}_{x}=P^{'}_{y}=\dfrac{(y-1)^2-x^2}{(x^2+(y-1)^2)^2}

，在区域内用格林公式有

\displaystyle \oint_{\Gamma^{+}+\Gamma^{-}_{\xi}}Pdx+Qdy=\iint_{D}(Q^{'}_{x}-P^{'}_{y})dxdy=0

所以，

\displaystyle \text{原式}=2\int_{\Gamma^{+}}Pdx+Qdy=2\int_{\Gamma^{\xi}}Pdx+Qdy=\dfrac{2}{\xi^2}\int_{\Gamma_{\xi}}xdy-(y-1)dx

再对

\Gamma_{\xi}

包围的区域记为

D_{\xi}

，再利用格林公式有

\displaystyle \text{原式}=\dfrac{2}{\xi^2}\iint_{D_{\xi}}2dxdy=\dfrac{4}{\xi^2}\cdot \pi\xi^2=4\pi

作者：小熊

写作日期：2021-10-25

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原始发表：2021-10-25，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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