每日一练6.4

用户9628320

发布于 2022-11-23 14:29:12

4010

发布于 2022-11-23 14:29:12

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

接力题典 1800 重积分

知识点：

三重积分的计算方法：

1直角坐标法

（1）.切片法

若假设空间区域\varOmega 可以表示成

\varOmega={(x,y,z)|(x,y)\in D,c\leq z\leq d}

，则

\iiint_\limits{\varOmega}f(x,y,z)dv=\int_{c}^{d}dz\iint_\limits{D}f(x,y,z)dxdy

（2）.直角投影法

假设空间区域

\varOmega

可以

\varOmega=\{(x,y,z)|(x,y)\in D，\varphi_{1}(x,y)\leq z\leq \varphi_{2}(x,y)\}

，

则

\iiint_\limits{\varOmega}f(x,y,z)dv=\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)}f(x,y,z)dz\iint_\limits{D}dxdy

2.柱面坐标法

令

\begin{array}{L} x=r\cos \theta\\ y=r\sin \theta\\ z=z\\ \end{array}

，其中

\varOmega=\{(x,y,z)|\alpha\leq \theta\leq \beta,r_{1}(\theta)\leq r\leq r_{2}(x),\varphi_{1}(r,\theta)\leq z\leq \varphi_{2}(r,\theta)\}

则

\iiint_\limits{\varOmega}f(x,y,z)dv=\int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{r_{1}(\theta)}^{r_{2}(\theta)}rdr\int_{\varphi_{1}(r,\theta)}^{\varphi_{2}(r,\theta)}f(r\cos \theta,r\sin\theta,z)dz

3.球面坐标法

令

\begin{array}{L} x=r\cos \theta \sin \varphi\\ y=r\sin \theta \sin \varphi\\ z=r\cos \varphi \end{array}

，其中

\alpha\leq \theta \leq\beta,\theta_{1}\leq \varphi\leq\theta_{2},r_{1}(r,\theta)\leq r\leq r_{2}(r,\theta)

则

\iiint_\limits{\varOmega}f(x,y,z)dv=\int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}d\varphi\int_{r_{1}(\varphi,\theta)}^{r_{2}(\theta,\varphi)}f(r\cos \theta \sin \varphi,r\sin \theta \sin \varphi,r\cos \varphi)r^2\sin\varphi dr

34.计算

\iiint_\limits{\varOmega}(x^2+y^2)dxdydz

，其中

\varOmega

是由

x^2+y^2=z^2

与

z=a

之间的区域。

解：直接切片法，

\varOmega=\{(x,y,z)|x^2+y^2\leq z^2,0\leq z\leq a\}

，则

\iiint_\limits{\varOmega}f(x,y,z)dv=\int_{0}^{a}dz\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{z}rdr=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{a}z^4dz=\frac{\pi a^5}{10}

35.计算

\iiint_\limits{\varOmega}(x^2+y^2)dxdydz

，其中

\varOmega

是由曲线

\begin{array}{L} y^2=2z\ x=0\ \end{array}

，绕

轴一周

形成的曲面介于

z=2

和

z=8

之间的几何体。

解：根据曲线绕

轴形成的曲面为

z=\frac{1}{2}(x^2+y^2)

，所以

\varOmega=\{(x,y,z)|x^2+y^2 \in D_{z},2\leq z\leq 8\}

，

而

D_{z}:x^2+y^2\leq 2z

，所以

\iiint_\limits{\varOmega}(x^2+y^2)dxdydz=\int_{2}^{8}dz\iint_\limits{D_{z}}(x^2+y^2)dxdy\\=\int_{2}^{8}dz\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\sqrt{2z}}r^3dr=2\pi\int_{2}^{8}z^2dz=336\pi

36.计算

\iiint_\limits{\varOmega}zdxdydz

，其中

\varOmega

是由

x^2+y^2+z^2=4

与

x^2+y^2=3x

围成的几何体。

解：根据曲面联立，可得

z=1

，所以

\varOmega

在

xoy

面上的投影为

D:x^2+y^2\leq 3

，所以

\iiint_\limits{\varOmega}xdxdydz=\iint_\limits{D}dxdy\int_{\frac{x^2+y^2}{4}}^{\sqrt{4-x^2-y^2}}zdz\\=\frac{1}{2}\iint_\limits{D}[4-x^2-y^2-\frac{1}{9}(x^2+y^2)^2]dxdy\\=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\sqrt{3}}(4-r^2-\frac{1}{9}r^4rdr=\pi\times(6-\frac{9}{4}-\frac{1}{2})\\=\frac{13\pi}{4}

37.设

f(x)

在

x=0

处可导，

f(0)=0

，求极限

\underset{t\rightarrow 0}{\lim}\frac{1}{t^5}\iiint_\limits{\varOmega}f(x^2+y^2+z^2)dv

，

其中

\varOmega:\sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq\sqrt{t^2-x^2-y^2}

解：令

\begin{array} \\x=r\cos \theta \sin \varphi\\ y=r\sin \theta \sin \varphi\\ z=r\cos \varphi\\ \end{array}

，

0\leq \theta \leq 2\pi,0\leq \varphi\leq\frac{\pi}{4},0\leq r\leq t

，

则

\iiint_\limits{\varOmega}f(x^2+y^2+z^2)dv=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin\varphi\varphi\int_{0}^{t}f(r^2)r^2dr

，

所以

\underset{t\rightarrow 0}{\lim}\frac{1}{t^5}\iiint_\limits{\varOmega}f(x^2+y^2+z^2)dv=2\pi(1-\sqrt{2})\underset{t\rightarrow 0}{\lim}\frac{\int_{0}^{t}f(r^2)r^2dr}{t^5}\\=2\pi(1-\sqrt{2})\underset{t\rightarrow 0}{\lim}\frac{t^2f(t^2)}{5t^4}=\frac{2\pi}{5}(1-\sqrt{2})\underset{t\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(t^2)-f(0)}{t^2}=\frac{2\pi}{5}(1-\sqrt{2})f^{'}(0)

题目就到这里了，主要讲的就是三重积分的计算方法，注意题型，加强练习。成功来源于积累。

作者：小熊

知乎平台：baby

微信平台：机械灰灰

写作日期：6.4

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原始发表：2021-06-04，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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