每日一练6.22

用户9628320

发布于 2022-11-23 14:41:19

2450

发布于 2022-11-23 14:41:19

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

接力题典 1800 曲线积分和曲面积分

第一节对弧长的曲线积分

1 性质：

（1）区间加减可拆（2）对称性（重点）

2 计算方法

（1）特殊方法：利用性质

（2）定积分方法：参数方程以及直角坐标方法，综合利用导数。

1.设曲线

L:y=\sqrt{1-x^2}(-1\leq x\leq 1)

，求

\int_{L}(x^2+2xy)ds

解：根据显函数，有

ds=\sqrt{1+y^{' 2}}dx=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}

，所以

\int_{L}(x^2+2xy)ds=\int_{-1}^{1}(x^2+2x\sqrt{1-x^2})\cdot \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\\=\int_{-1}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=2\int_{0}^{1}\frac{\sin^2 t}{\cos t}\cos t dt\\=2\times \frac{1}{2}\times \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}

2.设

L:y=x^2(0\leq x\leq 1)

，求

\int_{L}xyds

解：根据定积分计算法，有

\int_{L}xyds=\int_{0}^{1}x^3\sqrt{1+y^{' 2}}dx\\=\int_{0}^{1}x^3\sqrt{1+4x^2}dx=\frac{1}{32}\int_{0}^{1}[(1+4x^2)-1]\sqrt{1+4x^2}d(1+4x^2)

换元

1+4x^2=t

，由于

x\in(0,1)

，所以

t\in(1,5)

，带入得

\frac{1}{32}\int_{1}^{5}(t-1)\sqrt{t}dt=\frac{1}{32}(\cdot \frac{2}{5}t^{\frac{5}{2}}|_{1}^{5}-\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}|_{1}^{5})=\frac{25\sqrt{5}+1}{120}

好了，今天的题目就到这里了，感谢大家的关注，注意题型，注意对应的方法，有问题欢迎留言。

写作日期：6.21

作者：小熊

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原始发表：2021-06-22，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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