每日一练6.24

用户9628320

发布于 2022-11-23 14:43:48

2700

发布于 2022-11-23 14:43:48

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

接力题典 1800 曲线积分与曲面积分

第二节对坐标的曲线积分

计算方法：（1）定积分法（2）格林公式（3）斯托克斯公式（三维曲线积分）

1 设

是

y=\sqrt{2x-x^2}

从点

O(0,0)

到点

A(2,0)

的一段有向曲线段，求

\int_{L}2ydx-(x+1)dy

解：显然可以补线拆线一下，记原式

，有

I=\int_{L}2ydx-(x+1)dy=\oint_{L+\vec{AO}}2ydx-(x+1)dy+\int_{\vec{OA}}2ydx-(x+1)dy

;

对于前者，利用格林公式有，

\oint_{L+\vec{AO}}2ydx-(x+1)dy=-\iint_{D}(-1-2)dxdy=\frac{3}{2}\pi

，

对于后者，

\int_{\vec{OA}}2ydx-(x+1)dy=\int_{0}^{1}0dx=0

所以

I=\frac{3}{2}\pi

2 计算

\oint_{L}\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}

，其中

L:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

，取逆时针方向.

解：由题意知，用格林格式，但是注意原点无意义，故用挖补法，

P=-\frac{y}{x^2+y^2}

，

Q=\frac{x}{x^2+y^2}

，

\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}((x,y)\neq(0,0))

领取

L_{0}:x^2+y^2=r^2

，且

L_{0}

在

内，取逆时针方向；记

L_{0}

与

围成的区域为

D_{1}

，

L_{0}

单独围成的区域为

D_{2}

；

\oint_{L+L_{0}^{-}}\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}=\iint_{D_{1}}0dxdy=0

，

原式

=\oint_{L_{0}}\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}=\frac{1}{r^2}xdy-ydx=\frac{2}{r^2}dxdy=2\pi

题目就到这里了，两道经典的题目，注意拆分的思想，以及基本公式的应用。有问题留言，谢谢大家！

写作日期：6.24

作者：小熊

微信平台：机械灰灰

知乎平台：baby

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自微信公众号。

原始发表：2021-06-24，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

本文分享自灰灰的数学与机械世界微信公众号，前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

登录后参与评论

0 条评论

热度