每日一练6.25

用户9628320

发布于 2022-11-23 14:44:25

2610

发布于 2022-11-23 14:44:25

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

接力题典 1800 曲线积分和曲面积分

第三节对面积的曲面积分

知识点：

性质：轮换对称性
计算方法：（1）特殊替代法（2）二重积分法

1.

计算

I=\underset{s}{\iint}(x^2+y^2+z)dS

，其中

是圆锥面

z=\sqrt{x^2+y^2}

介于

z=0

和

z=1

之间的部分.

解：由曲面

S:\sqrt{x^2+y^2}

投影到

xOy

面上的投影为

D:x^2+y^2\leq 1

，

dS=\sqrt{1+z^{' 2}_{x}+z^{' 2}_{y}}d\sigma=\sqrt{2}d\sigma

，

则

I=\underset{s}{\iint}(x^2+y^2+z)dS=\sqrt{2}\underset{D}{\iint}(x^2+y^2+\sqrt{x^2+y^2}d\sigma=\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}r(r^2+r)dr=\frac{7\sqrt{2}\pi}{6}

2.

计算

\underset{S}{\iint}(x^2+y^2)dS

，其中

S:x^2+y^2+z^2=2z

解：显然

可以分成两块，

S_{1}:z=1-\sqrt{1-x^2+y^2}

，

S_{1}:z=1+\sqrt{1-x^2+y^2}

，在

xOy

面的

投影为

D:x^2+y^2\leq 1

，

dS=\sqrt{1+z^{' 2}_{x}+z^{' 2}_{y}}d\sigma=\frac{d\sigma}{\sqrt{1-x^2-y^2}}

，则

\underset{S}{\iint}(x^2+y^2)dS=\underset{S_{1}}{\iint}(x^2+y^2)dS+\underset{S_{2}}{\iint}(x^2+y^2)dS\\=2\underset{D_{xy}}{\iint}\frac{x^2+y^2}{\sqrt{1-x^2-y^2}}d\sigma=2\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}\frac{r^3}{\sqrt{1-r^2}}dr=\frac{8\pi}{3}

題目就到这里了，主要还是基础方法的应用，注意多练，多动手，有问题的欢迎留言。

写作日期：6.25

作者：小熊

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原始发表：2021-06-25，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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