非数竞赛专题三（5）

用户9628320

发布于 2022-11-23 14:46:55

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非数专题三一元积分学（5）

3.5 变限积分的应用

知识点：变限积分的几个公式

3.14 （南京大学1995年竞赛题）

求

\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt{x}\int_{x}^{x+1}\frac{dt}{\sqrt{t+\sin t+x}}

解：根据积分的放缩，有

\int_{x}^{x+1}\frac{dt}{\sqrt{t+\sin t+x}}\leq \int_{x}^{x+1}\frac{dt}{\sqrt{x-1+x}}=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}

同理

\int_{x}^{x+1}\frac{dt}{\sqrt{t+\sin t+x}}\geq \int_{x}^{x+1}\frac{dt}{\sqrt{x+1+1+x}}=\frac{1}{\sqrt{2x+2}}

因此有

\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt{x}\frac{1}{\sqrt{2x-1}}2

，

\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt{x}\frac{1}{\sqrt{2x+2}}=2

，所以原式

解题技巧：综合利用放缩法（利用分母以及三角函数的有界性），以及积分的计算。

3.15 （江苏省1998年竞赛题）

已知

g(x)

是以

为周期的连续函数，且

g(0)=1

，

f(x)=\int_{0}^{2x}|x-t|g(t)dt

，求

f^{'}(T)

解：先对函数进行区间拆分，有

f(x)=f(x)=\int_{0}^{x}(x-t)g(t)dt+f(x)=\int_{x}^{2x}(t-x)g(t)dt\\=x\int_{0}^{x}g(t)dt-\int_{0}^{x}tg(t)dt+\int_{x}^{2x}tg(t)dt-x\int_{x}^{2x}g(t)dt

再求导得

f^{'}(x)=\int_{0}^{x}g(t)dt+xg(x)-xg(x)+4xg(2x)-xg(x)\\-\int_{x}^{2x}g(t)dt-2xg(2x)+xg(x)\\=\int_{0}^{x}g(t)dt-\int_{x}^{2x}g(t)dt+2xg(2x)

令

x=T

，根据周期以及初始值，带入得

f^{'}(T)=\int_{0}^{T}g(t)dt-\int_{T}^{2T}g(t)dt+2Tg(2T)=2T

解题技巧：带绝对值的定积分区间拆分，含参积分求导公式，以及定积分的周期性。

3.16 （浙江省2002年竞赛题）

设

f(x)

连续，且当

x>-1

时，有

f(x)(\int_{0}^{x}f(t)dt+1)=\frac{xe^x}{2(1+x)^2}

求

f(x)

解：令

y(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt+1

，显然

y^{'}(x)=f(x)

，带入原等式，有

y^{'}(x)y(x)=\frac{xe^x}{2(1+x)^2}

两边积分一下，左边有

\int y^{'}(x)y(x)dx=\int y(x)dy(x)=y^{2}(x)

右边得

\int\frac{xe^x}{2(1+x)^2}dx=-\int xe^x\frac{dx}{1+x}\\=-\frac{xe^x}{1+x}+\int\frac{1}{1+x}e^x(1+x)dx\\=\frac{e^x}{1+x}+C

根据初始值，得

C=0

，所以

y(x)=f(x)\sqrt{\frac{e^x}{1+x}}

解题技巧：利用不定积分的性质，构造微分方程，其次分部积分法。

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写作日期：6.26

作者：小熊

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原始发表：2021-06-27，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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