每日一练6.27

用户9628320

发布于 2022-11-23 14:56:18

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文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

接力题典 1800 曲线与曲面积分

第四节对坐标的的曲面积分

知识点：

（1）性质：对称性

（2）计算方法：二重积分法、高斯公式

1.计算

\iint\limits_{\Sigma}x^2dydz+y^2dzdx

，其中

\Sigma

是

z=x^2+y^2

被

z=x

截的部分，取下侧.

解：首先由对称性，得

\iint\limits_{\Sigma}y^2dzdx=0

，所以记原式

，曲面

\Sigma

在平面

yOz

上的

投影区域为

D:y^2+(z-\frac{1}{2})^2\leq \frac{1}{4}

，根据二重积分方法有

I=\iint\limits_{D}(z-y^2)dydz=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\frac{1}{2}}(\frac{1}{1}+r\sin \theta-r^2\cos^2\theta)rdr\\=\int_{0}^{2\pi}(\frac{1}{16}+\frac{1}{24}\sin \theta-\frac{1}{64}\cos^2\theta)d\theta\\=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{16}I_{2}=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{16}\times\frac{1}{2}\times\frac{\pi}{2}=\frac{7\pi}{64}

解题技巧：首先利用曲面积分性质，其次用高斯公式化简，而后用点火公式。

2.计算

I=\iint\limits_{\Sigma}(x+3z^2)dydz+(x^3z^2+yz)dzdx-3y^2dxdy

，其中

\Sigma

为

z=2-\sqrt{x^2+y^2}

在

z=0

上方部分的下侧.

解：利用补面，令

\Sigma_{0}:z=0(x^2+y^2\leq 4)

，取上侧，则

I=(\underset{\Sigma+\Sigma_{0}}{\iint}-\iint\limits_{\Sigma_{0}})(x+3z^2)dydz+(x^3z^2+yz)dzdx-3y^2dxdy

对于前者，利用高斯公式，

\underset{\Sigma+\Sigma_{0}}{\iint}(x+3z^2)dydz+(x^3z^2+yz)dzdx-3y^2dxdy\\=-\iiint\limits_{\Omega}(1+z)dv=-\int_{0}^{2}(1+z)dz\iint\limits_{x^2+y^2\leq (2-z)^2}dxdy=-4\pi

后者，先用性质再计算，有

\iint\limits_{\Sigma_{0}}(x+3z^2)dydz+(x^3z^2+yz)dzdx-3y^2dxdy\\=\iint\limits_{\Sigma_{0}}-3y^2dxdy=-3\iint\limits_{D}y^2dxdy=-\frac{3}{2}\iint\limits_{D}(x^2+y^2)dxdy\\=-\frac{3}{2}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}r^3dr=12\pi

综合，原式

=8\pi

解题技巧：遇到非完整的面可以先进行补面，而后利用高斯公式简化，其次还要去除补面的另一侧，注意二重积分三重积分的计算。

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作者：小熊

写作日期：6.27

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原始发表：2021-06-27，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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