竞赛好题暑假练习1

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:05:38

3800

发布于 2022-11-23 15:05:38

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

一道三角函数的不定积分的求解

求

\displaystyle \int\dfrac{1+\sin x}{1+\sin x+\cos x}dx

分析：可以利用类似有理函数的拆分化简求解；或者直接万能代换；直接凑微分。

方法一：

\displaystyle\begin{align*}\int\dfrac{1+\sin x}{1+\sin x+\cos x}dx &=\int\dfrac{\dfrac{1}{2}(1+\sin x+\cos x)+\dfrac{1}{2}(\sin x-\cos x)-\dfrac{1}{2}}{1+\sin x+\cos x}dx \\ &=\dfrac{1}{2}\int dx-\dfrac{1}{2} \int\dfrac{\cos x-\sin x }{1+\sin x+\cos x}dx+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{1}{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}+2\cos^{2}\dfrac{x}{2}}dx \\ &=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d (1+\sin x+\cos x)}{1+\sin x+\cos x}dx+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{1}{\tan\dfrac{x}{2}+1}d\tan\dfrac{x}{2} \\ &=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\ln|1+\sin x+\cos x|+\dfrac{1}{2}\ln|\tan\dfrac{x}{2}+1|+C\end{align*}

方法二：换元，令

\tan\dfrac{x}{2}=t

，则有

x=2\arctan t

，

dx=\dfrac{1}{1+t^2}dt

，

\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}

，

\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}

，

\displaystyle\begin{align*}\int\dfrac{1+\sin x}{1+\sin x+\cos x}dx &=\int\dfrac{1+\dfrac{2t}{1+t^2}}{1+\dfrac{2t}{1+t^2}+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\dfrac{2}{1+t^2}dt=\int\dfrac{t+1}{1+t^2}dt \\ &=\arctan t+\dfrac{1}{2}\ln(1+t^2)+C=\dfrac{x}{2}+\ln|\sec \dfrac{x}{2}|+C\end{align*}

方法三：

\displaystyle\begin{align*}\int\dfrac{1+\sin x}{1+\sin x+\cos x} &=\int\dfrac{(\sin \dfrac{x}{2}+\cos \dfrac{x}{2})^2}{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}+\cos ^{2}\dfrac{x}{2}}dx=\int\dfrac{(1+\tan \dfrac{x}{2})^2}{1+\tan\dfrac{x}{2}}dx \\ &=\dfrac{1}{2}\int(1+\tan \dfrac{x}{2})dx=\dfrac{x}{2}+\ln|\sec x|+C\end{align*}

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