竞赛好题暑假练习4

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:10:19

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发布于 2022-11-23 15:10:19

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

利用不等式放缩以及定积分的性质解决一道定积分证明题

设

是定义在闭区间

[0,1]

的连续函数，且

0 < m \leq f(x) \leq M

，对于

x \in [0,1]

，证明：

\displaystyle\left(\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{f(x)}\right)\left(\int_{0}^{1}f(x)dx\right)\leq\dfrac{(m+M)^2}{4mM}

分析：先利用

f(x)

与最大值和最小值的关系，导出中间不等式，再利用定积分的定义求解。

解析：由于

0 < m \leq f(x)\leq M

，可知

(f(x)-m)(f(x)-M)\leq 0

，再除以

f(x)

得

\displaystyle\dfrac{(f(x)-m)(f(x)-M)}{f(x)} \leq 0

，变形得

\displaystyle f(x)+\dfrac{Mm}{f(x)}\leq M+m

，

两边积分一下，

\displaystyle\int_{0}^{1}[f(x)+\dfrac{Mm}{f(x)}]dx\leq \int_{0}^{1}(M+m)dx=M+m

，进一步化简得

\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx+Mm\int_{0}^{1}\dfrac{1}{f(x)}dx\leq M+m

；

设

\displaystyle Mm\int_{0}^{1}\dfrac{1}{f(x)}dx=\lambda

，带入上式有

\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx+\lambda \leq M+m

，两边同时乘以

\lambda

化简得

\displaystyle\lambda\int_{0}^{1}f(x)dx\leq (M+m)\lambda-\lambda^2

；

显然

(M+m-2\lambda)^2 \geq 0

，展开

\displaystyle \begin{align*}\dfrac{(M+m-2\lambda)^2}{4}&=\dfrac{(M+m)^2-4(M+m)+4\lambda^2}{4}\\&=\dfrac{(M+m)}{4}-(M+m)\lambda+\lambda^2 \geq 0\end{align*}

所以

\displaystyle(M+m)\lambda-\lambda^2 \leq \dfrac{(M+m)^2}{4}

，即

\displaystyle \lambda\int_{0}^{1}f(x)dx \leq \dfrac{(M+m)^2}{4}

，带入

\lambda

，有

\displaystyle Mm\int_{0}^{1}\dfrac{1}{f(x)}dx\int_{0}^{1}f(x)dx \leq \dfrac{(M+m)^2}{4}

，即

\displaystyle\left(\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{f(x)}\right)\left(\int_{0}^{1}f(x)dx\right)\leq\dfrac{(m+M)^2}{4mM}

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