竞赛好题暑假练习5

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:11:53

3970

发布于 2022-11-23 15:11:53

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

利用泰勒展开和级数性质求证一道积分不等式的问题

求证：

\displaystyle \frac{5\pi}{2} < \int_{0}^{2\pi}e^{\sin x}dx < 2\pi e^{\frac{1}{4}}

分析：方法一根据

的泰勒展开，再逐项积分，方法二通过

的泰勒展开，再直接与积分不等式讨论。

【方法一】：由

的泰勒展开有

\displaystyle e^{\sin x}=1+\sin x+\frac{1}{2!}\sin^2 x+\dotsb+\frac{1}{n!}\sin^n x+\dotsb

由于其一致收敛，故可以逐项积分，当

为奇数时，

\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin^n xdx=0

而

\begin{align*}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^{2n}dx&=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}dx\\&=\frac{4(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{\pi}{2}\end{align*} \qquad n=1,2,3\dotsb

所以

\begin{align*}\displaystyle \int_{0}^{2\pi}e^{\sin x}dx&=2\pi+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)!}\int_{0}^{2\pi}dx\\&=2\pi\left[1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!}{(2n)!(2n)!!}\right]\\&=2\pi\left[1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\frac{1}{4^n}}{(n!)^2}\right]\end{align*}

进一步放缩一下，有

\displaystyle \frac{5\pi}{2}=2\pi\left(1+\frac{1}{4}\right) < \int_{0}^{2\pi}e^{\sin x}dx < 2\pi\left[1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\frac{1}{4^n}}{(n!)^2}\right]=2\pi e^{\frac{1}{4}}

【方法二】：利用

的泰勒展开，此时利用拉格朗日余项进行展开，对于

\forall t\in R

，

\exists \theta \in (0,1)

\displaystyle e^{\sin x}=1+t+\frac{1}{2!}t^2+\frac{1}{3!}t^3+\dotsb+\frac{1}{n!}t^n+\frac{e^{\theta t}}{(n+1)!}t^{n+1} \qquad (1)

可以取

n=3

，

t=\sin x

，有

\displaystyle e^{\sin x} >1+\sin x+\frac{1}{2!}\sin^2 x+\frac{1}{3!}\sin^3 x

两边积分一次有

\displaystyle \int_{0}^{2\pi}e^{\sin x}dx >\int_{}^{}(1+\sin x+\frac{1}{2!}\sin^2 x+\frac{1}{3!}\sin^3 x)dx=\frac{5\pi}{2}

再取

n=2m

，

n=1,2\dotsb

，根据式子

(1)

有当

是奇数，

\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^k xdx=0

\begin{align*}\displaystyle \int_{0}^{2\pi}e^{\sin x}dx&=2\pi+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k)!}\int_{0}^{2\pi}\sin^{2k}xdx+\frac{1}{(2m+1)!}\int_{0}^{2\pi}e^{\theta\sin x}\sin^{2m+1}xdx \\&< 2\pi+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-1)!!}{(2k)!(2k)!!}\cdot 2\pi+\frac{e}{(2m+1)!}\cdot 2\pi\end{align*}

再令

m\rightarrow +\infty

，则有

\displaystyle \int_{0}^{2\pi}e^{\sin x}dx \leq 2\pi\left[1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-1)!!}{(2k)!(2k)!!} \right]< 2\pi e^{\frac{1}{4}}

因此原式得证。

作者：小熊

写作日期：7.10

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自微信公众号。

原始发表：2021-07-10，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

本文分享自灰灰的数学与机械世界微信公众号，前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

登录后参与评论

0 条评论

热度