竞赛好题暑假练习6

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:12:51

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发布于 2022-11-23 15:12:51

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

一道带有绝对值的定积分求解

计算

\displaystyle\int_{e^{-n\pi}}^{1}\left|[\cos(\ln \frac{1}{x})]^{'}\ln\frac{1}{x}\right|dx

，其中

是正整数。

分析：在含有绝对值的积分中，将函数划分成合理的区间，使得函数积分在区间上的符号，为进一步求解做铺垫。

解析：由题意知，

\displaystyle\left[\cos(\ln\frac{1}{x})\right]^{'}=-\sin(\ln\frac{1}{x})\cdot(-\frac{1}{x})

而题目中国含有

\ln\dfrac{1}{x}

，设

\ln\dfrac{1}{x}=t

，当

x=e^{-n\pi}

时，

t=n\pi

；当

x=1

时，

t=0

，且

x=e^{-t}

，

dx=-e^{-t}dt

，带入原式有

\begin{align*}\displaystyle\displaystyle\int_{e^{-n\pi}}^{1}\left|[\cos(\ln \frac{1}{x})]^{'}\ln\frac{1}{x}\right|dx&=\int_{n\pi}^{0}-|\sin t|tdt=\int_{0}^{n\pi}t|\sin t|dt\\&=\int_{0}^{\pi}t\sin tdt-\int_{0}^{2\pi}t\sin tdt+\cdot+(-1)^{n-1}\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}t\sin tdt\\&=\sum_{k=1}^{n}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}(-1)^{k-1}t\sin tdt=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}[-t\sin t+\sin t]\bigg|_{(k-1)\pi}^{k\pi}\\&=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}[k\pi\cos k\pi-(k-1)\pi\cos(k-1)\pi]\\&=\sum_{k=1}^{n}(-1)[(-1)^{k}k\pi+(-1)^{k}(k-1)\pi]\\&=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)\pi=n^2\pi\end{align*}

注

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}2k-1=n^2

感谢关注，首先换元之后利用

|\sin x|

的周期性将区间拆分，后续采用分部积分以级数的性质解决问题。

作者：小熊

写作日期：7.14

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原始发表：2021-07-14，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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