竞赛好题暑假练习8

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:14:43

3210

发布于 2022-11-23 15:14:43

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

一道利用拆分区间和区间再现证明的定积分不等式题

证明：

\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{1+x^2}dx \leq \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1+x^2}dx

分析：利用作差构造新的定积分，先拆分区间，将其分为

(0,\dfrac{\pi}{4})

和

(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2})

，再利用区间再现证明不等式。

解析：对不等式两边进行作差，左边减去右边，有

\begin{align*}\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x-\cos x}{1+x^2}dx&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{1+x^2}dx+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x-\cos x}{1+x^2}dx(令u=\frac{\pi}{2}-x)\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{1+x^2}dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos u-\sin u}{1+(\frac{\pi}{2}-u)^2}du(积分与变量无关)\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{1+x^2}dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos x-\sin x}{1+(\frac{\pi}{2}-x)^2}dx\\&=\pi\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{(\sin x-\cos x)(\frac{\pi}{4}-x)}{(1+x^2)(1+(\frac{\pi}{2}-x)^2)}dx\end{align*}

而

0\leq x \leq \dfrac{\pi}{4}

，

\sin x \leq \cos x

，

\dfrac{\pi}{4}-x \geq 0

，

所以

\displaystyle \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{(\sin x-\cos x)(\frac{\pi}{4}-x)}{(1+x^2)(1+(\frac{\pi}{2}-x)^2)}dx \leq 0

，故原式得证。

作者：小熊

写作日期：7.18

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自微信公众号。

原始发表：2021-07-18，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

本文分享自灰灰的数学与机械世界微信公众号，前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

登录后参与评论

0 条评论

热度