竞赛好题暑假练习10

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:15:23

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利用函数极值求证定积分不等式

设

\varOmega:x^2+y^2+z^2 \leq 1

，证明：

\displaystyle \frac{4\sqrt[3]{2}\pi}{3}\leq \underset{\varOmega}{\iiint} \sqrt[3]{x+2y-2z+5}dv \leq \frac{8\pi}{3}

【分析】：根据题意，要想证明不等式，必须从被积函数的极值入手，而题目限制的条件刚好就是有条件极值和无条件极值的问题，所以利用拉格朗日函数乘数法以及极值问题方法即可以求解。

【解析】：令

f(x,y,z)=x+2y-2z+5

，

f^{'}(x)=1

，

f^{'}(y)=2

，

f^{'}(z)=-2

，故在

\varOmega

内部是没有驻点的，故极值只能在边界上求得。故令

F(x,y,z,\lambda)=x+2y-2z+5+\lambda(x^2+y^2+z^2-1)

，分别对

x,y,z,\lambda

求偏导，有

F^{'}(x)=1+2\lambda x=0

，

F^{'}(y)=2+2\lambda y=0

，

F^{'}(z)=-2+2\lambda z=0

，

F^{'}(\lambda)=x^2+y^2+z^2-1=0

；解得驻点为

P_{1}(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},-\dfrac{2}{3})

，

P_{2}(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3})

，带入求得

f(P_{1})=8

，

f(P_{2})=2

，即函数

f(x,y,z)

在

\varOmega

上的最大值为

，最小值为

；所以

\sqrt[3]{f(x,y,z)}

的最小值为

\sqrt[3]{2}

，最大值为

。所以

\displaystyle \frac{4\sqrt[3]{2}\pi}{3}=\underset{\varOmega}{\iiint}\sqrt[3]{2}dv\leq \underset{\varOmega}{\iiint}\sqrt[3]{x+2y-2z+5}dv \leq \underset{\varOmega}{\iiint}2dv=\frac{8}{3}\pi

作者：小熊

写作日期：7.22

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