竞赛好题暑假练习11

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:16:00

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发布于 2022-11-23 15:16:00

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

两道有关定积分、级数以及组合数的证明题

（1）证明：对任意正整数

，有

\displaystyle \dfrac{1}{m}=\sum_{n=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{m-1}C_{m}^{n}}{k}

（2）求

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\displaystyle\prod_{m=0}^{2017}(k+m)}

【分析】：本题均是利用定积分以及级数证明的基本功，（1）联想到定积分转化，（2）先裂项后用数学归纳法进行证明。

【解析】：（1）

\begin{align*}\displaystyle\sum_{n=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{m-1}C_{m}^{n}}{k}&=\sum_{n=1}^{m}(-1)^{m-1}C_{m}^{n}\int_{0}^{1}\sum_{k=1}^{n}x^{k-1}dx=\sum_{n=1}^{m}(-1)^{m-1}C_{m}^{n}\int_{0}^{1}\frac{1-x^{n}}{1-x}dx\\&=\int_{0}^{1}\frac{1}{1-x}\left[\sum_{n=1}^{m}(-1)^{m-1}C_{m}^{n}+\sum_{n=1}^{m}(-1)^{m-1}C_{m}^{n}x^{n}\right]dx\\&=\int_{0}^{1}\frac{1}{1-x}\left[1+(x-1)^{m}-1\right]dx=\frac{1}{m}\end{align*}

（2）先证明

\displaystyle \frac{1}{k(k+1)\dotsb(k+m)}=\frac{1}{m!}\sum_{n=1}^{m}(-1)^{n-1}C_{m-1}^{n-1}\frac{1}{(k+n-1)(k+n)}\qquad (1)

当

m=1

显然

(1)

成立，假设当

m=l (l \geq 1)(1)

式也成立，当

m=l+1

时

\begin{align*}\displaystyle \frac{1}{k(k+1)\dotsb(k+l)(k+l+1)}&=\frac{1}{(l+1)!}\left[\sum_{n=1}^{l}(-1)^{n-1}C_{l-1}^{n-1}\frac{1}{(k+n-1)(k+n)}-\sum_{n=1}^{l}(-1)^{n-1}C_{l-1}^{n-1}\frac{1}{(k+n)(k+n+1)}\right]\\&=\frac{1}{(l+1)!}\left[\sum_{n=1}^{l}(-1)^{n-1}C_{l-1}^{n-1}\frac{1}{(k+n-1)(k+n)}-\sum_{n=2}^{l+1}(-1)^{n-1}C_{l-1}^{n-2}\frac{1}{(k+n-1)(k+n)}\right]\\&=\frac{1}{(l+1)!}\left[\frac{1}{k(k+1)}+\sum_{n=2}^{l}(-1)^{n-1}(C_{l-1}^{n-1}-C_{l-1}^{n-2})\frac{1}{(k+n-1)(k+n)}+\frac{(-1)^{l-1}}{(k+l)(k+l+1)}\right]\\&=\frac{1}{(l+1)!}\sum_{n=1}^{l+1}(-1)^{n-1}C_{l}^{m-1}\frac{1}{(k+n-1)(k+n)}\end{align*}

即上式

(1)

对正整数

成立。

\begin{align*}\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\displaystyle\prod_{m=0}^{2017}(k+m)}&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)\dotsb(k+m)}=\frac{1}{m!}\sum_{n=1}^{m}(-1)^{n-1}C_{m-1}^{n-1}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k+n-1)(k+n)}\\&=\frac{1}{m!}\sum_{n=1}^{m}(-1)^{n-1}\frac{C_{m-1}^{n-1}}{n}=\frac{1}{m}\frac{1}{m!}\sum_{n=1}^{m}(-1)^{n-1}C_{m}^{n}\\&=\frac{1}{m}\frac{1}{m!}\end{align*}

所以

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\displaystyle\prod_{m=0}^{2017}(k+m)}=\frac{1}{2017}\frac{1}{2017!}

结论：

\displaystyle \frac{1}{k(k+1)\dotsb(k+m)}=\frac{1}{m!}\sum_{n=1}^{m}(-1)^{n-1}C_{m-1}^{n-1}\frac{1}{(k+n-1)(k+n)}

作者：小熊

写作日期：7.24

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