竞赛好题暑假练习12

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:17:09

2200

发布于 2022-11-23 15:17:09

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

一道数列极限的证明题（利用放缩加构造以及单调有界）

设

f_{0}(x)

，

f_{1}(x)

是

[0,1]

上的正值连续函数，满足

\displaystyle \int_{0}^{1}f_{0}(x)dx \leq \int_{0}^{1}f_{1}(x)dx

，设

\displaystyle f_{n+1}(x)=\frac{2f_{n}^{2}(x)}{f_{n}(x)+f_{n+1}(x)},n=1,2,3,\dotsb

证明：序列

\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1}f_{n}(x)dx

，

n=1,2,\dotsb

单调递增且收敛.

【解析】：由题意

\displaystyle \int_{0}^{1}f_{0}(x)dx \leq \int_{0}^{1}f_{1}(x)dx

，且

f_{0}(x)

，

f_{1}(x)

在

[0,1]

上正值连续，所以有

f_{0}(x) \leq f_{1}(x)

，且

f_{n}(x)(n=0,1,2,\dotsb)

在

[0,1]

上正值连续。则

\begin{align*}\displaystyle a_{2}-a_{1}&=\int_{0}^{1}f_{2}(x)dx-\int_{0}^{1}f_{1}(x)dx=\int_{0}^{1}\left[\frac{2f_{1}^{2}(x)}{f_{1}(x)+f_{0}(x)}-f_{1}(x)\right]dx\\&\geq \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\left[\frac{f_{1}^{2}(x)-2f_{1}(x)f_{0}(x)+f_{0}^{2}(x)}{f_{1}(x)+f_{0}(x)}\right]dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{[f_{1}(x)-f_{0}(x)]^2}{f_{1}(x)+f_{0}(x)}dx\\& \geq 0\end{align*}

若

a_{k-1} \geq a_{k-2}(k=2,3,\dotsb)

，则

f_{k-1}(x) \geq f_{k-2}(x)

，且

\displaystyle a_{k}-a_{k-1}=\int_{0}^{1}\left[\frac{f_{k-1}^{2}(x)-2f_{k-1}(x)f_{k-2}(x)}{f_{k-1}(x)+f_{k-2}(x)}\right]dx\geq \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{(f_{k-1}(x)-f_{k-2}(x))^2}{f_{k-1}(x)+f_{k-2}(x)}dx \geq 0

即序列

\{a_{n}\}

是单调递增的；同时由于

f_{0}(x)

，

f_{1}(x)

在

[0,1]

上正值连续，可知

\exists k \geq 1

使得

f_{1}(x)\leq kf_{0}(x)

，记

c_{1}=k

，有

\displaystyle f_{2}(x)=\frac{2f_{1}^{2}(x)}{f_{1}(x)+f_{0}(x0)} \leq \frac{2c_{1}}{c_{1}}f_{1}(x)

，归纳可知

\displaystyle c_{n+1}=\frac{2c_{n}}{c_{n}+1},f_{n+1}(x)\leq c_{n+1}f_{n}(x),n=0,1,2,\dotsb \qquad (1)

而

\displaystyle c_{n+1}-c_{n}=\frac{2c_{n}}{c_{n}+1}-c_{n}=-\frac{c_{n}(c_{n}-1)}{c_{n}+1} < 0

，且

c_{n}\leq c_{1}=k

，所以

\{c_{n}\}

单调递减有下界，记

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}c_{n}=A

，带入有

A=\dfrac{2A}{A+1}

，解得

A=1

；同时

\displaystyle \frac{c_{n}}{c_{n}+1}\leq \frac{c_{1}}{c_{1}+1}=\frac{k}{k+1}

，对

(1)

式两端积分有

a_{n+1}\leq c_{n+1}a_{n}

，所以

0 < c_{n+1}a_{n+1}=\dfrac{2c_{n}}{c_{n}+1}a_{n+1} \leq \dfrac{4c_{n}}{(c_{n}+1)^2}c_{n}a_{n}\leq c_{n}a_{n}

故

\{c_{n}a_{n}\}

单调递减有下界，因此其收敛，前面证得

\{c_{n}\}

收敛，所以

\{a_{n}\}

也收敛。

作者：小熊

写作日期：7.26

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原始发表：2021-07-26，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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