竞赛好题暑假练习13

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:17:43

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发布于 2022-11-23 15:17:43

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

一道曲面积分的多种求解方法

计算曲面积分

\displaystyle \underset{S}{\iint}\frac{axdydz+(z+a)dzdy}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}

，其中

是下半球面

z=-\sqrt{a^2-x^2-y^2}

的上侧，且

是大于零的常数

【解析】：首先曲面

的方程满足积分的式子，带入得

\displaystyle I= \underset{S}{\iint}\frac{axdydz+(z+a)dzdy}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{1}{a}\underset{S}{\iint}axdydz+(z+a)^2dxdy

，只需要计算上述积分。

【法一】：补一有向圆面

S_{1}:z=0(x^2+y^2 \leq a^2)

，取下侧，设

与

S_{1}

围成立体为

\Omega

，补面由高斯公式得

\begin{align*}\displaystyle \underset{S+S_{1}}{\iint}axdydz+(z+a)^{2}dxdy&=-\underset{\Omega}{\iiint}(3a+2z)dV=-3a\underset{\Omega}{\iiint}dV-2\underset{\Omega}{\iiint}zdV\\&=-3a\cdot\frac{2}{3}\pi a^3-2\int_{-a}^{0}zdz\underset{x^2+y^2=z^2-a^2}{\iint}d\sigma=-2\pi a^4-2\pi\int_{-a}^{0}z(a^2-z^2)dz\\&=-2\pi a^4-2\pi\cdot(-\frac{1}{4}a^4)=\frac{3}{2}\pi a^4\end{align*}

再进行割面，对

S_{1}

利用平面投影，由于

S_{1}

垂直与平面

yOz

，取下侧，有

\begin{align*}\displaystyle \underset{S_{1}}{\iint}axdydz+(z+a)^2dxdy&=\underset{S_{1}}{\iint}(z+a)^2dxdy=-a^2\underset{D_{xy}}{\iint}dxdy\\&=-\pi a^4\end{align*}

所以

\displaystyle I=\frac{1}{a}\left(-\frac{3}{2}\pi a^4-(-\pi a^4)\right)=-\frac{1}{2}\pi a^3

【法二】：利用分面投影法计算

，将

按照

分为

S_{\text{前}}:x=\sqrt{a^2-y^2-z^2}

和

S_{\text{后}}:x=-\sqrt{a^2-y^2-z^2}

，则有

\begin{align*}\displaystyle \frac{1}{a}\underset{S}{\iint}axdydz&=\underset{S_{\text{前}}}{\iint}xdxdy+\underset{S_{\text{后}}}{\iint}xdxdy=\underset{y^2+z^2 \leq ,a^2 \leq 0}{\iint}\sqrt{a^2-x^2-z^2}-dydz+\underset{y^2+z^2 \leq ,a^2 \leq 0}{\iint}-\sqrt{a^2-x^2-z^2}dydz\\&=-2\underset{y^2+z^2 \leq ,a^2 \leq 0}{\iint}\sqrt{a^2-y^2-z^2}dydz=-2\int_{-\pi}^{0}d\theta\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-\rho^2}\rho d \rho\\&=-\frac{2}{3}\pi a^2\end{align*}

\begin{align*}\displaystyle \frac{1}{a}\underset{S}{\iint}(z+a)^2dxdy&=\frac{1}{a}\underset{x^2+y^2 \leq a^2}{\iint}(a-\sqrt{a^2-x^2-y^2})dxdy\\&=\frac{1}{a}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{a}(a\sqrt{a^2-\rho^2})\rho d \rho=\frac{\pi}{6}a^3\end{align*}

所以

I=-\dfrac{2}{3}\pi a^3+\dfrac{\pi}{6}a^3=-\dfrac{\pi}{2}a^3

【法三】：利用合一投影法，显然积分

对应的向量值函数为

\vec{F}=(ax,0,(z+a)^2)

，而曲面

对应的上侧法向量为

\vec{n}=(\dfrac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}},(\dfrac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}},1)

，

在

xOy

的投影区域为

D_{xy}:x^2+y^2\leq a^2

，则

\begin{align*}\displaystyle I&=\frac{1}{a}\underset{S}{\iint}\vec{F}d\vec{S}=\frac{1}{a}\underset{D_{xy}}{\iint}\vec{F}(x,y,z(x,y))\cdot\vec{n}dxdy\\&=\frac{1}{a}\underset{D_{xy}}{\iint}\left(\frac{-a x^2}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}+(a-\sqrt{a^2-x^2-y^2})^2\right)dxdy\\&=\frac{1}{a}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{a}\left(\frac{-a \rho^2\cos^2 \theta}{\sqrt{a^2-\rho^2}}+(a-\sqrt{a^2-\rho^2})^2\right)\rho d\rho\\&=-\frac{1}{2}\pi a^3\end{align*}

作者：小熊

写作日期：8.9

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原始发表：2021-08-09，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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