考研数学综合题8

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:22:56

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发布于 2022-11-23 15:22:56

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一道看似简单的极限题，利用夹逼准则以及放缩来处理一道极限题

设

f(x)=\begin{cases}\displaystyle \sin \frac{1}{x},&x\neq 0\\ 0,&x = 0\end{cases}

，

\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt

。（1）证明

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x}\int_{0}^{x^2}f(t)=0

；（2）证明

F^{'}_{+}(x)=0

。

分析：（1）观察极限形式，可以直接利用洛必达法则进行求解；（2）注意

f(x)

是分段函数，不能直接洛必达法则，可以考虑利用定义求解导数，同时利用夹逼准则来求解。

解析：（1）直接洛必达法则，

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x}\int_{0}^{x^2}f(t)dt=\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}2xf(x^2)=\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}2x\sin\frac{1}{x}=0

（2）根据定义知

\begin{align*}\displaystyle F^{'}_{+}(0)&=\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\displaystyle\int_{0}^{x}\sin\frac{1}{x}dx}{x}\\&=\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x}\left(\int_{0}^{x^2}\sin\frac{1}{t}dt+\int_{x^2}^{x}\sin\frac{1}{t}dt\right)\end{align*}

由（1）知，

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x}\int_{0}^{x^2}\sin\frac{1}{t}dt=0

，利用夹逼准则有

\begin{align*}\displaystyle0\leq \left|\frac{1}{x}\int_{x^2}^{x}\sin\frac{1}{t}dt\right|&=\left|\frac{1}{x}\int_{x^2}^{x}t^2d(\cos\frac{1}{t})\right|\\&=\left|\frac{1}{x}(x^2\cos\frac{1}{t})\Big|_{x^2}^{x}-\int_{x^2}^{x}\cos\frac{1}{t}2tdt\right|\\&\leq\left|\frac{1}{x}(x^2\cos\frac{1}{x}-x^4\cos\frac{1}{x^2})\right|+\left|\frac{1}{x}\int_{x^2}^{x}2tdt\right|\\&=\left|x\cos\frac{1}{x}-x^2\cos\frac{1}{x^2}\right|+|x-x^2|\end{align*}

而

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}|x\cos\frac{1}{x}-x^2\cos\frac{1}{x^2}|=0

，

\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}|x-x^2|=0

，

所以根据夹逼准则，有

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x}\int_{0}^{x^2}\sin\frac{1}{t}dt=0

，即

F^{'}_{+}(x)=0

注意：

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\int_{0}^{x}\sin\frac{1}{x}dx}{x}

不能用洛必达法则。

作者：小熊

写作日期：7.17

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原始发表：2021-07-17，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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