考研数学综合题11

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:24:30

3430

发布于 2022-11-23 15:24:30

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

表面上是相似理论，实质考察矩阵方程以及方程组的解的一道线性代数题

设

a,b,c,d

为常数，其中

b \neq 0

，矩阵

\mathbf{A}=\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right]

的二重特征值为

\lambda

，求可逆矩阵

\mathbf{P}

，使得

\mathbf{P^{-1} A P}=\left[\begin{matrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \\\end{matrix}\right]

【解析】：设

\mathbf{P}=\left[ \begin{matrix} x_{1} & x_{2} \ x_{3} & x_{4} \ \end{matrix} \right]

，根据题意有

a+d=\lambda+\lambda

，由相似知

\mathbf{AP}=\mathbf{P}\left[ \begin{matrix} \lambda&1 \ 0&\lambda \ \end{matrix} \right]

，即

\left[ \begin{matrix} a&b \\ c&d \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x_{1}&x_{2} \\ x_{3}&x_{4} \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} x_{1}&x_{2} \\ x_{3}&x_4{} \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \lambda&1 \\ 0&\lambda \\ \end{matrix} \right]

即

\left\{ \begin{array} ax_{1}+bx_{3}=\lambda x_{1}\\ ax_{2}+bx_{4}=x_{1}+\lambda x_{2}\\cx_{1}+sx_{2}=\lambda x_{3}\\ cx_{2}+dx_{4}=x_{3}+\lambda x_{4}\\ \end{array} \right.\rightarrow \left\{ \begin{array}{l} (a-\lambda)x_{1}+bx_{3}=0\\-x_{1}+(a-\lambda)x_{2}+bx_{4}=0\\ cx_{1}+(d-\lambda)x_{2}=0\\ cx_{2}-x_{3}+(d-\lambda)x_{4}=0\\ \end{array} \right.\qquad(*)

而

\lambda

又是

\mathbf{A}

的二重特征值，所以有

\displaystyle\left[ \begin{matrix} \lambda-a & -b \\-c& \lambda-d \\ \end{matrix} \right] =0

，化简一下

(*)

方程组系数有

\left[ \begin{matrix} a-\lambda&0 &b &0 \\ -1& a-\lambda& 0& b\\ c& 0&d-\lambda &0 \\ 0& c&-1 &d-\lambda \\ \end{matrix} \right] \underset{\longrightarrow}{r_{3}+\dfrac{\lambda-d}{b}r_{1},r_{3}\leftrightarrow r_{4}}\left[ \begin{matrix} a-\lambda&0 & b &0 \\ -1& a-\lambda& 0& b \\ 0&c &-1 &d-\lambda \\ 0&0 & 0 &0 \\ \end{matrix} \right]

\underset{\longrightarrow}{r_{3}+\dfrac{\lambda-d}{b}r_{2}}\left[ \begin{matrix} a-\lambda&0 &b &0 \\ -1&a-\lambda &0 &b \\ \dfrac{d-\lambda}{b}& 0 &-1 &0 \\ 0&0 & 0 &0 \\ \end{matrix} \right]\underset{\longrightarrow}{r_{3}+\dfrac{1}{b}r_{1}}\left[ \begin{matrix} a-\lambda& 0 &b &0 \\ -1& a-\lambda &0 & b \\ 0& 0& 0 &0 \\ 0& 0 &0 & 0 \\ \end{matrix} \right]

所以基础解系为

\mathbf{\xi_{1}}=(b,0,\lambda-a,1)^T

，

\mathbf{\xi_{2}}=(0,b,0\lambda-a)^T

，所以通解为

\left[ \begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4}\\ \end{array} \right] =k_{1}\mathbf{\xi_{1}}+k_{2}\mathbf{\xi_{2}}=\left[ \begin{array}{c} k_{1}b\\ k_{2}b\\ k_{1}(\lambda-a)\\ k_{1}+k_{2}(\lambda-a)\\ \end{array} \right]

根据前面可知

\lambda-a=\dfrac{1}{2}(d-a)

，所以

\mathbf{P}=\left[ \begin{matrix} k_{1}b&k_{2}b \\ \dfrac{1}{2}k_{1}(d-a)& k_{1}+k_{2}\dfrac{1}{2}(d-a) \\ \end{matrix} \right]

|\mathbf{P}|=k_{1}^{2}b\neq =0

，所以

k_{1}\neq 0

，

k_{2}

为任意常数，才能使

\mathbf{P^{-1}AP}=\left[\begin{matrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \\\end{matrix}\right]

作者：小熊

写作日期：7.23

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原始发表：2021-07-23，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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