考研数学综合题12

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:24:52

3520

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二次型矩阵实对称矩阵的转化以及化为正交矩阵的一道线代题

已知三元二次型

f(x_{1},x_{2},x_{3})=\mathbf{x}^{T} \mathbf{A x}

，其中

\mathbf{A}=\left[ \begin{matrix} 1& 2b& 0 \\ 0& a& 0 \\ 2& 1& 1 \\ \end{matrix} \right]

，

\mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}

，若该二次型可以由正交变换

\mathbf{x}=\mathbf{Qy}

化为

y_{1}^2+y_{2}^2

，求（1）

，

的值；（2）正交矩阵

\mathbf{Q}

【解析】：（1）可以看到

\mathbf{A}

并非是对称矩阵，故

f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+ax_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2bx_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}

可以将

f(x_{1},x_{2},x_{3})

化为实对称矩阵，记为

\mathbf{B}

f(x_{1},x_{2},x_{3})=\mathbf{x}^{T}\left[ \begin{matrix} 1&b & 1 \\ b& a & 1 \\ 1& 1 & 1 \\ \end{matrix} \right] \mathbf{x}

由题意知

可以经过正交变换化为

y_{1}^{2}+4y_{2}^{2}

，即

\mathbf{B}

的特征值为

1,4,0

，所以

|\mathbf{B}|=-(1-b)^{2}=1\times 4 \times 0=0

，

1+a+1=1+4+0=5

解得

a=3

，

b=1

（2）由（1）知，

\mathbf{B}

的特征值为

1,4,0

，且

\mathbf{B}=\left[ \begin{matrix} 1&1 &1 \\ 1& 3 & 1 \\ 1& 1 & 1 \\ \end{matrix} \right]

当

\lambda_{1}=1

时，由

(\mathbf{E}-\mathbf{B})\mathbf{x}=0

，得到

\mathbf{\xi}_{1}=(1,-1,1)^{T}

当

\lambda_{1}=4

时，由

(4\mathbf{E}-\mathbf{B})\mathbf{x}=0

，得到

\mathbf{\xi}_{1}=(1,2,1)^{T}

当

\lambda_{3}=0

时，由

(0\mathbf{E}-\mathbf{B})\mathbf{x}=0

，得到

\mathbf{\xi}_{1}=(-1,0,1)^{T}

再将

\xi_{1},\xi_{2},\xi_{3}

分别单位化，有

\eta_{1}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}},-\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)

，

\eta_{2}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{6}},\dfrac{2}{\sqrt{6}},\dfrac{1}{\sqrt{6}}\right)

，

\eta_{3}=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},0,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)

所以

\mathbf{Q}=\left[ \begin{matrix} \dfrac{1}{\sqrt{3}}&\dfrac{1}{\sqrt{6}} &-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}}&\dfrac{2}{\sqrt{6}} &0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{3}}&\dfrac{1}{\sqrt{6}} &\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix} \right]

作者：小熊

写作日期：7.25

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原始发表：2021-07-25，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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