考研数学综合题14

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:25:31

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利用定积分可加性拆分积分以及中值定理解决一道积分证明题

设

f(x)

是

[0,1]

上的可微函数，且

|f^{'}(x)| \leq M

，

0 < x < 1

，求证

\displaystyle \left|\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})\right|\leq \frac{M}{n}

【分析】：利用定积分的可加性将

\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx

化成

项和相加的形式，再与

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})

作比较。

【解析】：令

\displaystyle I_{k}=\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}f(x)dx-\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})

，由

f(x)

可微，根据积分中值定理有

\dfrac{k-1}{n} < \eta_{k} < \dfrac{k}{n}

，使得

\displaystyle \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}f(x)dx=\frac{1}{n}f(\eta_{k})

同时，根据微分中值定理有，

\eta_{k} < \xi_{k} < \dfrac{k}{n}

，使得

f(\eta_{k})-f(\dfrac{k}{n})=(\eta_{k}-\dfrac{k}{n})f^{'}(\xi_{k})

，所以

|\displaystyle I_{k}|=\frac{1}{n}\left|f(\eta_{k})-f(\frac{k}{n})\right|=\frac{1}{n}\left|\eta_{k}-\frac{k}{n}\right|\cdot\left|f^{'}(\xi_{k})\right|\leq \frac{M}{n^2}

所以原式

\displaystyle =\left|\sum_{k=1}^{n}I_{k}\right|\leq \frac{M}{n}

变式

设

f(x)

是

(0,+\infty)

内单调递减的连续函数，且

f^{'}(x) > 0

，证明数列

|a_{n}|

收敛，其中

\displaystyle a_{n}=\sum_{k=1}^{n}f(k)-\int_{0}^{n}f(x)dx

作者：小熊

写作日期：8.10

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原始发表：2021-08-10，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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