考研数学综合题15

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:25:53

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利用柯西施瓦茨不等式以及拆分区间证明一道积分题

设

f:[0,1]\rightarrow R

的连续可微函数，

\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)dx=0

，求证：

\displaystyle \int_{0}^{1}(f^{'}(x))^2dx \geq 12\left(\int_{0}^{1}f(x)dx\right)^2

【解析】：根据题意，将区间划为

(0,\dfrac{1}{2})

和

(\dfrac{1}{2},1)

，根据柯西施瓦茨积分不等式有

\begin{align*}\displaystyle \left(\int_{0}^{\frac{1}{2}}(f^{'}(x))^2dx\right)\left(\int_{0}^{\frac{1}{2}}x^2dx\right)\geq \left(\int_{0}^{\frac{1}{2}}xf^{'}(x)dx\right)^2=\left(\frac{1}{2}f(\frac{1}{2})-\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)dx\right)^2\end{align*}

即

\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}(f^{'}(x))^2dx \geq 24\left(\frac{1}{2}f(\frac{1}{2})-\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)dx\right)^2 \quad(1)

同理

\begin{align*}\displaystyle \left(\int_{\frac{1}{2}}^{1}(f^{'}(x))^2dx\right)\left(\int_{\frac{1}{2}}^{1}(1-x)^2dx\right)\geq \left(\int_{\frac{1}{2}}^{1}(1-x)f^{'}(x)dx\right)^2=\left(-\frac{1}{2}f(\frac{1}{2})+\int_{\frac{1}{2}}^{1}f(x)dx\right)^2\end{align*}

即

\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{1}(f^{'}(x))^2dx \geq 24\left(-\frac{1}{2}f(\frac{1}{2})-\int_{\frac{1}{2}}^{1}f(x)dx\right)^2 \quad(2)

将

(1)

和

(2)

相加，由不等式

2(a^2+b^2) \geq (a+b)^2

，有

\begin{align*}\displaystyle \int_{0}^{1}(f^{'}(x))^2dx & \geq 24\left[\left(-\frac{1}{2}f(\frac{1}{2})-\int_{\frac{1}{2}}^{1}f(x)dx\right)^2+\left(\frac{1}{2}f(\frac{1}{2})-\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)dx\right)^2 \right]\\& \geq 12\left(-\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)dx+\int_{\frac{1}{2}}^{1}f(x)dx\right)^2=12\left(\int_{0}^{1}f(x)dx-2\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)dx\right)^2\end{align*}

由题意知

\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)dx=0

，所以原式得证。

作者：小熊

写作日期：8.15

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