考研竞赛每日一练 day 5 利用倒代换以及三角换元解决一道不定积分问题

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:31:50

4380

发布于 2022-11-23 15:31:50

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

利用倒代换以及三角换元解决一道不定积分问题

计算不定积分

\displaystyle \int \frac{1}{x^3}\arcsin \frac{1}{x}dx

【分析】：首先对于积分是分式的话先进行倒代换，然后化简积分式子，再利用三角换元解决根式积分，最后得出结果。

【解析】：首先令

\dfrac{1}{x}=t

，带入原式则有

\begin{align*}\displaystyle \int \frac{1}{x^3}\arcsin\frac{1}{x}dx&=-\int t\arcsin tdt=-\frac{1}{2}\int \arcsin td(t^2)\\&=-\frac{1}{2}t^2\arcsin t+\frac{1}{2}\int\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}}dt\end{align*}

对于

\displaystyle \frac{1}{2}\int\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}}dt

，利用三角换元，令

t=\sin u

，有

\begin{align*}\displaystyle \int\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}}dt&=\int \sin^2 udu=\frac{1}{2}\int (1-\cos 2u)du\\&=-\frac{1}{2}u-\frac{1}{4}\sin 2u=-\frac{1}{2}(\arcsin t-t\sqrt{1-t^2})\end{align*}

所以，

\begin{align*}\displaystyle \int \frac{1}{x^3}\arcsin \frac{1}{x}dx&=-\frac{1}{2}t^2\arcsin t+\frac{1}{4}(\arcsin t-t\sqrt{1-t^2})+C\\& =-\frac{1}{2x^2}\arcsin \frac{1}{x}+\frac{1}{4}\arcsin \frac{1}{x}-\frac{1}{4x}\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+C\end{align*}

作者：小熊

写作日期：9.29

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自微信公众号。

原始发表：2021-09-29，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

本文分享自灰灰的数学与机械世界微信公众号，前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

登录后参与评论

0 条评论

热度