考研竞赛每日一练 day 6 利用幂级数性质积分和求导关系求解和函数

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:32:11

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利用幂级数性质积分和求导关系求解和函数

求幂级数

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{n(2n-1)}

的和函数

【分析】：首先根据幂级数的收敛域的定义确定收敛域，再先提取

，先对函数求积分，利用性质，先求和再积分，最后还原即可，另外，端点值再单独讨论。

【解析】：根根收敛域的定义，可以直接求出收敛域为

[-1,1]

，设原幂级数的和函数为

S(x)

，

S(x)=x\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{n(2n-1)}

，令

T(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{n(2n-1)}

，对其求导，有

\begin{align*}T^{'}(x)&=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n-1}}{2n-1}=2\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{x}(-1)t^{2n-2}dt=2\int_{0}^{x}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}t^{2n-2}dt\\&=-2\int_{0}^{x}\sum_{n=1}^{\infty}(-t^2)^{n-1}dt=-2\int_{0}^{x}\dfrac{1}{1+t^2}dt\\&=-2\arctan x(-1 < x <1)\end{align*}

\begin{align*}T(x)&=\int_{0}^{x}T^{'}(t)dt+T(0)=-2\int_{0}^{x}\arctan tdt=-2t\arctan t|_{0}^{x}+2\int_{0}^{t}\dfrac{t}{1+t^2}dt\\&=\ln(1+x^2)-2x\arctan x(-1 < x < 1)\end{align*}

所以

S(x)=xT(x)=x\ln(1+x^2)-2x^2\arctan x(-1 < x <1)

而

S(-1)=\lim\limits_{x\rightarrow 1^{-}}S(x)=[x\ln(1+x^2)-2x^2\arctan x]|_{x=-1}

存在，同理

S(1)

也存在。

所以

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{n(2n-1)}=S(x)=x\ln(1+x^2)-2x^2\arctan x(-1\leq x\leq 1)

作者：小熊

写作日期：9.30

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原始发表：2021-09-30，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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