已知
,
,求幂级数
的收敛域
【分析】:首先根据
的递推关系,可以判断数列
收敛,且极限存在,再根据幂级数的收敛半径与收敛域的关系,利用已经得到的数列极限去算收敛半径,得出收敛域,但是在端点处单独讨论。
【解析】:数列
的有界性,利用归纳法,由于
,假设
,利用递推关系有
,所以数列
有界;而根据常见的不等关系有
,所以数列单调递减。由单调有界准则有,数列极限是存在的,不妨设
为
,则有等式
,所以解得
。
幂级数的收敛半径,根据定义有
所以幂级数
的收敛半径为1,收敛区间为
;
当
时,
,而
部分和为
,显然
,而
和
均是正项级数,且
,所以
,原级数收敛;
同理,当
,
,由前面知,
是收敛的,所以
也是收敛的,即
,级数收敛。
综上所述,
的收敛域为
。
祝大家国庆快乐,希望我们的国家越来越好,大家一起加油!
作者:小熊
写作日期:10.1