考研竞赛每日一练 day 8 一道利用极限定义以及泰勒展开加级数判别法证明级数收敛性的问题

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:32:58

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一道利用极限定义以及泰勒展开加级数判别法证明级数收敛性的问题

设

f(x)

在

x=0

处的某邻域内具有二阶连续导数，且

\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)}{x}=1

，证明：（1）级数

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f(\dfrac{1}{n})

收敛；（2）级数

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}[f(\dfrac{1}{n})-\dfrac{1}{n}]

绝对收敛

【分析】：第一问，首先考虑导数的定义，证明级数是正项级数，再利用题中的极限条件，构造级数的比较法来证明；第二问通过一般项，利用二阶导数的定义，再利用泰勒展开公式，同理构造一个等价的级数，间接利用来证明。

【解析】：（1）由极限

\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)}{x}=1

，且函数有二阶连续导数，则有

f(0)=0

，

f^{'}(0)=1

，再根据极限的保号性，在

x=0

的领域内，

f^{'}(x) > 0

，故

f(\dfrac{1}{n}) > 0

，由正项级数知，

\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}=1

，而级数

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}

发散，所以原级数也发散；

（2）由（1）知，

f(x)

在

x=0

处的函数值以及一阶导数值均知道，由泰勒展开公式

f(\dfrac{1}{n})=f(0)+f^{'}(0)\dfrac{1}{n}+\dfrac{f^{''}(\xi)}{2!}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{1}{n}+\dfrac{f^{''}(\xi)}{2!}\dfrac{1}{n^2}(0 < \xi <\dfrac{1}{n})

同时

f(x)

在

x=0

处由二阶连续导数，根据导数定义知

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left|\dfrac{f(\frac{1}{n})-\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}}\right|=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\dfrac{|f^{''}{\xi}|}{2}=\dfrac{1}{2}\lim\limits_{n\rightarrow \infty}f^{''}(\xi)=\dfrac{1}{2}f^{''}(0) \geq 0

由于级数

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}

收敛，所以原级数绝对收敛。

作者：小熊

写作日期：10.2

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