考研竞赛每日一练 day 9 利用区间再现公式以及导数性质证明一道定积分的不等式问题

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:33:18

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文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

利用区间再现公式以及导数性质证明一道定积分的不等式问题

设函数

f(x)

在闭区间

[0,2\pi]

上具有二阶导数，且

f^{''}(x) > 0

，证明：（1）

\displaystyle\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos xdx > 0

；（2）

\displaystyle \int_{0}^{2\pi}f^{'}\sin xdx > 0

【分析】：第一问，先考虑将原式拆分区间，再利用区间再现公式进行等价化简，其后利用二阶导数的性质将问题转化；第二问先分部积分，再考虑利用（1）中的结论，即可证明。

【解析】：（1）先对原式进行区间拆分，直接对原式进行

[0,\pi]

以及

[\pi,2\pi]

的区间进行划分，

\displaystyle \int_{0}^{2\pi}f(x)\cos xdx=\int_{0}^{\pi}f(x)\cos x dx+\int_{\pi}^{2\pi}f(x)\cos xdx

再换元，设

x=t+\pi

，则有

\displaystyle \int_{\pi}^{2\pi}f(x)\cos xdx=-\int_{0}^{\pi}f(t+\pi)\cos tdt=-\int_{0}^{\pi}f(x+\pi)\cos dx

所以，

\begin{align*}\displaystyle \int_{0}^{2\pi}f(x)\cos xdx&=\int_{0}^{\pi}f(x)\cos xdx-\int_{0}^{\pi}f(x+\pi)\cos xdx=\int_{0}^{\pi}[f(x)-f(x+\pi)]\cos xdx\\&=\int_{0}^{\pi}[f(x)-f(x+\pi)]d\sin x=(f(x)-f(x+\pi))\sin x|_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}[f^{'}(x)-f^{'}(x+\pi)]\sin xdx\\&=\int_{0}^{\pi}[f^{'}(x+\pi)-f^{'}(x)]\sin xdx\end{align*}

同时，由于函数在

[0,2\pi]

上

f^{''}(x) > 0

，所以

f^{'}(x)

是单调递增的，于是，在

0 < x < \pi

时，有

f^{'}(x) < f^{'}(x+\pi)

，因此

\displaystyle \int_{0}^{2\pi}f(x)\cos xdx=\int_{0}^{\pi}[f^{'}(x+\pi)-f^{'}(x)]\sin xdx >0

（2）利用（1）中结论，所以

\begin{align*}\displaystyle \int_{0}^{2\pi}f^{'}(x)\sin xdx &=\int_{0}^{2\pi}\sin xdf(x)=\sin xf(x)|_{0}^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos xdx\\&=-\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos xdx < 0\end{align*}

作者：小熊

写作日期：10.3

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