考研竞赛每日一练 day 12 两道带有参数的极限计算求解题

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:35:41

4480

发布于 2022-11-23 15:35:41

文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

两道带有参数的极限计算求解题

确定常数a ，b 的值，使得

\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left[\sqrt{x^6+ax^3}-(x^3+x^2+bx)e^{-\frac{1}{x}}\right]=\frac{1}{3}

【分析】：首先根据极限形式，判断为无穷大减去无穷大，可利用倒代换，将极限变成0比0型，再利用极限存在的性质，进行计算。

【解析】：令

x=\frac{1}{t}

，则有

\begin{align*}\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left[\sqrt{x^6+ax^3}-(x^3+x^2+bx)e^{-\frac{1}{x}}\right]&=\lim\limits_{t\rightarrow 0^{+}}\dfrac{(\sqrt{1+at^3}-1)-[(1+t+bt^2)-e^{t}]e^{-t}}{t^3}\\&=\lim\limits_{t\rightarrow 0^+}\dfrac{\sqrt{1+at^3}-1}{t^3}-\lim\limits_{t\rightarrow 0^+}\dfrac{[(1+t+bt^2)-e^t]e^{-t}}{t^3}\\&=\lim\limits_{t\rightarrow 0^+}\dfrac{1}{2}\dfrac{at^3}{t^3}-\lim\limits_{t\rightarrow 0^+}\dfrac{1+t+bt^2-e^t}{t^3}=\dfrac{a}{2}-\lim\limits_{t\rightarrow 0^+}\dfrac{1+2bt-e^t}{3t^2}\\&=\dfrac{a}{2}-\lim\limits_{t\rightarrow 0^+}\dfrac{2b-e^t}{6t}\end{align*}

根据题意知，

\lim\limits_{t\rightarrow 0^+}\dfrac{2b-e^t}{6t}=0

，所以

b=\dfrac{1}{2}

，即

\lim\limits_{t\rightarrow 0^+}\dfrac{1-e^t}{6t}=-\dfrac{1}{6}

，所以

a=\dfrac{1}{3}

求参数

，当

a\rightarrow 0

时，使得

(1+x)^{\frac{1}{x}}-(e+ax)

为

的高阶无穷小

【分析】：首先根据高阶无穷小的定义，写出极限，极限为0比0型，分子先对数化，再拆极限，根据极限的法则计算。

【解析】：由高阶无穷小的定义知，

\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(e+ax)}{x}=0

\begin{align*}\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(e+ax)}{x}&=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{\frac{1}{x}\ln(1+x)-e}}{x}-a=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{e[e^{\frac{1}{x}\ln(1+x)-1}-1]}{x}-a\\&=\lim\limits_{x\rightarrow 0}e\dfrac{\frac{1}{x}\ln(1+x)-1}{x}-a=\lim\limits_{x\rightarrow 0}e\dfrac{\ln(1+x)-x}{x^2}-a\\&=-\dfrac{e}{2}-a\end{align*}

所以

a=-\dfrac{e}{2}

作者：小熊

写作日期：10.18

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自微信公众号。

原始发表：2021-10-18，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

本文分享自灰灰的数学与机械世界微信公众号，前往查看

如有侵权，请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除。

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，欢迎热爱写作的你一起参与！

登录后参与评论

0 条评论

热度