考研竞赛每日一练 day 13 回归基础的几道极限小题

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:38:42

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文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

回归基础的几道极限小题

1.求极限

\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+2\sin^2x}}{\tan^2x}

2.求

\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{x^3}[(\dfrac{2+\cos x}{3})^x-1]

3.求

\lim\limits_{x\rightarrow 0}(\dfrac{4+2e^{\frac{2}{x}}}{2+3e^{\frac{2}{x}}}+\dfrac{\sin x}{|x|})

4.求

\displaystyle\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\int_{0}^{\sin ^2 x}\ln(1+t)dt}{\sqrt{1+x^4}-1}

5.计算

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(\dfrac{1}{1\times2\times3}+\dfrac{1}{2\times 3\times 4}+\dotsb+\dfrac{1}{(n-1)n(n+1)})

解析：

1.利用拆项，凑等价无穷小，记原式为

\begin{align*}I&=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{x^2}-\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{1+2\sin^2x}-1}{x^2}\\&=\dfrac{\frac{1}{2}x^2}{x^2}-\dfrac{\frac{1}{2}\cdot 2\sin^2x}{x^2}=-\dfrac{1}{2}\end{align*}

2.利用重要极限e，先变形，再凑，利用

1-\cos x

等价，记原式为

\begin{align*}I&=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{x^3}[(1-\frac{1-\cos x}{3})^{-\frac{3}{1-\cos x}\cdot -\frac{x\cdot(1-\cos x) }{3}}-1]\\&=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{-\frac{x\cdot(1-\cos x) }{3}}-1}{x^3}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{-\frac{1}{3}(1-\cos x)}{x^2}\\&=-\dfrac{1}{6}\end{align*}

3.分左右极限，左极限为

I_{1}

，右极限为

I_{1}

\begin{align*}I_{1}&=\lim\limits_{x\rightarrow 0^{-}}(\dfrac{4+2e^{\frac{2}{x}}}{2+3e^{\frac{2}{x}}}-\dfrac{\sin x}{x})=\dfrac{4}{2}-1=1\end{align*}

\begin{align*}I_{2}&=\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}(\dfrac{4+2e^{\frac{2}{x}}}{2+3e^{\frac{2}{x}}}+\dfrac{\sin x}{x})=\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}\end{align*}

由于

I_{1}\ne I_{2}

，所以原极限不存在。

4.变积分函数，以及等价无穷小，洛必达

记原极限为

\begin{align*}I&=\lim\limits_{x\rightarrow}\dfrac{2x\ln(1+x^2)}{2x^3}=\dfrac{1}{2}\end{align*}

5.先求和，再求极限

根据

\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{2(k+2)}-\dfrac{1}{2k}

，记原式极限为

I=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(1-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2(n+2)})=\dfrac{1}{2}

作者：小熊

写作日期：2021-10-20

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