考研竞赛每日一练 day 16 一道积分不等式的两种证明方法

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:40:24

3430

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文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

一道积分不等式的两种证明方法

设函数

f(x)

在

[0,1]

上连续可导，有

f(1)-f(0)=1

，证明：

\displaystyle \int_{0}^{1}(f^{'}(x))^2 dx \geq 1

解析：

法一：考虑柯西施瓦茨不等式，有，

\displaystyle (\int_{0}^{1}1\cdot f^{'}(x)dx)^2 \geq \int_{0}^{1}1^2dx\cdot\int_{0}^{1}(f^{'}(x))^2dx

，而

\displaystyle (\int_{0}^{1}f^{'}(x)dx)^2=(f(1)-f(0))^2=1

，所以

\displaystyle \int_{0}^{1}(f^{'}(x))^2 dx \geq 1

法二：可以考虑利用变限积分函数来做，令

，显然

F(0)=0

，对

F(x)

进行求导，有

\begin{align*}F^{'}(x)&=\int_{0}^{x}(f^{'}(t))^2dt+x(f^{'}(x))^2-2f^{'}(x)\int_{0}^{x}f^{'}(t)dt\\&=\int_{0}^{x}(f^{'}(t))^2dt+\int_{0}^{x}(f^{'}(x))^2dt-2f^{'}(x)\int_{0}^{x}f^{'}(t)dt\\&=\int_{0}^{x}(f^{'}(x)-f^{'}(t))^2dt \qquad 0 \leq x \leq 1\end{align*}

显然

F(x)

单调递增，即

F(1)\geq F(0)=0

，带入有

\begin{align*}\displaystyle \int_{0}^{1}(f^{'}(t))^2dt-(\int_{0}^{1}f^{'}(t)dt)^2&=\int_{0}^{1}(f^{'}(t))^2dt-(f(1)-f(0))^2\\&=\int_{0}^{1}(f^{'}(x))^2dx-1\geq 0\\&\Rightarrow \int_{0}^{1}(f^{'}(x))^2dx \geq 1\end{align*}

故得证.

此题关键还是结论中的积分式子的构造，利用积分变限函数与原函数的关系，以及柯西施瓦茨不等式等都可以找到不等关系，再利用题目已知条件，带入即可得证，这种题构造一般比较难，希望大家多总结，谢谢你的阅读。

作者：小熊

写作日期：201-10-23

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原始发表：2021-10-24，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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