考研竞赛每日一练 day 18 利用洛必达分部求解以及泰勒展开两种方法求解一道等价无穷小的极限好题

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:42:07

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利用洛必达分部求解以及泰勒展开两种方法求解一道等价无穷小的极限好题

当

x \rightarrow 0

时，

f(x)=ax+b\sin x+c\sin x\cdot \cos x

与

x^5

是等价无穷小，求

a,b,c

满足的关系

【分析】：思路一：直接根据等价无穷列出极限，利用洛必达法则再分部求解；思路二：题目给出的是五阶等价，可以考虑利用泰勒展开，再按照系数的关系列出方程，求解即可。

【法一】：

\begin{align*}\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)}{x^5}&=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{ax+b\sin x+c\sin x\cdot\cos x}{x^5}\\&=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{2ax+2b\sin x+2c\sin 2x}{2x^5}=1\\&\Rightarrow \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{2z+2b\cos x+2c\cos 2x}{10x^4}=1\Rightarrow a+b+c=0\end{align*}

\begin{align*}\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{a+b\cos x+c\cos 2x}{5x^4}=1&\Rightarrow \lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{-b\sin x-2c\sin 2x}{20x^3}=1\\&\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{-b\cos x-4c\sin 2x}{60x^2}=1\Rightarrow b+4c=0\end{align*}

\begin{align*}\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{-b\cos x-4c\sin 2x}{60x^2}&=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{b\sin x+8c\sin 2x}{120x}=1\\&\Rightarrow\dfrac{b+16c}{120}=1\Rightarrow b+16c-120=0\end{align*}

由上面三式解出

a=30,b=-40,c=10

。

【法二】：

\begin{align*}a+b\sin x+c\sin x\cdot \cos x&=ax+b\sin x+\dfrac{c}{2}\sin 2x\\&=ax+b\left[x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+o(x^5)\right]+\dfrac{c}{2}\left[2x-\dfrac{(2x)^3}{3!}+\dfrac{(2x)^5}{5!}+o(x^5)\right]\\&=(a+b+c)x-(b+4c)\dfrac{x^3}{3!}+(b+16c)\dfrac{x^5}{5!}+o(x^5) \approx x^5\end{align*}

由系数关系可知

a+b+c=0

，

b+4c=0

，

b+16c=120

，解得

a=30

，

b=-40

，

c=10

作者：小熊

写作日期：2021-10-25

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