考研竞赛每日一练 day 20 利用泰勒展开和极限保号性证明一道极值问题

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:43:11

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文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

利用泰勒展开和极限保号性证明一道极值问题

设函数

f(x)

是满足初值问题

\begin{cases}f''(x)+[f'(x)]^2=x^2\\f(0=a,f'(0)=0\end{cases}

的特解，试证明

x=0

是

y=f(x)

的极小值点。

【分析】：根据

f(0)=a

，

f'(0)=0

，对原式条件变形有

f''(x)+[f'(x))]^2=x^2\Rightarrow f''(x)=x^2-[f'(x)]^2\Rightarrow f''(0)=0

f'''(x)=2x-2f'(x)\cdot f''(x)\Rightarrow f'''(0)=0

f^{(4)}(x)=2-2[f''(x)]^2-2f'(x)\cdot f'''(x)\Rightarrow f^{4}(0)=2

由此类推，

f^{(k)}(x)(k=1,2,3\dotsb,5)

在点

x=0

是连续的，将函数

y=f(x)

在

x=0

进行泰勒展开得

\begin{align*}f(x)&=f(0)+xf'(0)+\dfrac{x^2}{2!}f^{''}(0)+\dfrac{x^3}{3!}f^{'''}(0)+\dfrac{x^4}{4!}f^{(4))}(0)+\dfrac{x^5}{5!}f^{(5)}(\theta x)\\&=a+\dfrac{x^4}{12}+\dfrac{x^5}{5!}f^{(5)}(\theta x)(0 < \theta < 1)\end{align*}

对上式移项，再进行求极限，有

\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x^4}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{5!}\lim\limits_{x\rightarrow 0}xf^{(5)}(\theta x)=\dfrac{1}{12}

由极限的保号性知，当

x\in (-\delta,0)

和

x\in (0,\delta)

内，

f(x)-f(0) > 0

，即

x=0

是

y=f(x)

的极小值点。

本题关键想到利用已知等式关系推出函数在

x=0

的导数值，以及导数在局部具有连续性，同时后面想到利用泰勒展开构造函数与

f(0)

的关系，利用极限保号性，间接证明函数的极小值点。

作者：小熊

写作日期：2021-10-27

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