考研竞赛每日一练 day 25 一道经典偏导求解问题

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:48:49

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文章被收录于专栏：灰灰的数学与机械世界

一道经典偏导求解问题

设

D=\{(x,y)|y > 0\}

，函数

z=z(x,y)

在

内有二阶连续的偏导数，变换

\begin{cases}u=x+a\sqrt{y}\\v=x+b\sqrt{y}\end{cases}

，把方程

\dfrac{\partial^2z}{\partial x^2}-y\dfrac{\partial^2z}{\partial y^2}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\partial z}{\partial y}=0

化为

\dfrac{\partial^2z}{\partial u\partial v}=0

，其中

a,b

均是常数，且

a > 0

，求出

a,b

的值。

解析：直接求

z=z(x,y)

在

内的偏导数，有

\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial z}{\partial u}+\dfrac{\partial z}{\partial v},\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}+2\dfrac{\partial^2 z}{\partial u\partial v}+\dfrac{\partial^2 z}{\partial v^2}

\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{a}{2\sqrt{y}}\dfrac{\partial z}{\partial u}+\dfrac{b}{2\sqrt{y}}\dfrac{\partial z}{\partial v},\dfrac{\partial^2z}{\partial y^2}=\dfrac{a^2}{4y}\dfrac{\partial^2z}{\partial u^2}+\dfrac{ab}{2y}\dfrac{\partial^2z}{\partial u \partial v}+\dfrac{b^2}{4y}\dfrac{\partial^2 z}{\partial v^2}-\dfrac{a}{4\sqrt{y^3}}\dfrac{\partial z}{\partial u}-\dfrac{b}{4\sqrt{y^3}}\dfrac{\partial z}{\partial v}

带入得，

\begin{align*}&\dfrac{\partial^2z}{\partial x^2}-y\dfrac{\partial^2z}{\partial y^2}-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\partial z}{\partial y}\\&=\dfrac{\partial^2z}{\partial u^2}+2\dfrac{\partial^2z}{\partial u\partial v}+\dfrac{\partial^2z}{\partial v^2}-\dfrac{a}{4\sqrt{y}}\dfrac{\partial z}{\partial u}-\dfrac{b}{4\sqrt{y}}\dfrac{\partial z}{\partial v}-\dfrac{a^2}{4}\dfrac{\partial^2 z}{\partial u^2}-\dfrac{ab}{2}\dfrac{\partial^2z}{\partial u\partial v}-\dfrac{b^2}{4}\dfrac{\partial^2 z}{\partial v^2}+\dfrac{a}{4\sqrt{y}}\dfrac{\partial z}{\partial u}+\dfrac{b}{4\sqrt{y}}\dfrac{\partial z}{\partial v}\\&=(1-a^2)\dfrac{\partial^2z}{\partial u^2}+(2-\dfrac{ab}{2})\dfrac{\partial^2 z}{\partial u\partial v}+(1-\dfrac{b^2}{4})\dfrac{\partial^2 z}{\partial v^2}=0\end{align*}

与题目对比，有

1-\dfrac{b^2}{4}=0

，

1-\dfrac{a^2}{4}=0

，

2-\dfrac{ab}{2}\neq 0

，且

a > 0

，解得

a=2

，

b=-2

。

作者：小熊

写作日期：2021-11-05

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